lunes, 14 de marzo de 2011

La cuadratura del círculo

Hoy es un día señalado en mi agenda. Desde hace tiempo, hoy se celebra el día de Pi. La idea surgió de un estadounidense Larry Shaw ,ya que las fechas allí se escriben al revés que aquí, poniendo primero el mes y después el día, así, hoy es 3/14.
Para celebrarlo voy a contaros algo sobre este famoso número y uno de los problemas con más historia dentro del mundo de las matemáticas: la cuadratura del círculo.
Hace muchos, muchos años, el hombre quiso construir un cuadrado, pero no uno cualquiera, no.
Uno que tuviera el mismo área que el área de un círculo dado. (Es decir, yo te doy un círculo y tu me dibujas un cuadrado que tenga exactamente el mismo área del círculo.)
¿Por qué?...pues quizá porque es mucho más fácil calcular el área de un cuadrado... ¿verdad?
La construcción debía ser fácil...solo con la utilización de una regla y un compás; y, por supuesto, posible...es decir en un número finito de pasos.
Bueno, pues aquí tenéis enunciado el famoso problema de la cuadratura del círculo que trajo de cabeza a muchísimos matemáticos durante muchos, muchos años...hasta que en 1882 el alemán Lindemann echó un jarro de agua fría sobre el mismo...pero no adelantemos acontecimientos.

¿Alguien quiere intentarlo?
Bien, detengámonos un momento a pensar en la dificultad de llevar esto a cabo. Nosotros, ahora, sabemos que





De manera que tendrá que ser



Y así



Si tomamos un radio unidad, nuestro problema se reduce a dibujar



De hecho, si pudiéramos dibujar Pi, la raíz de Pi sería fácilmente construible


Por tanto nuestro problema se reduce a construir Pi con regla y compás...

Empecemos por el principio ¿Qué es Pi?
Pi es una constante que aparece en la relación de proporcionalidad que hay entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro. No importa lo grande, o pequeña que sea nuestra circunferencia, pues su diámetro será también grande, o pequeño.


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Un resultado que ahora damos por evidente es que esta constante, Pi, es la misma que aparece en el área del círculo, pero fue Arquímedes quien demostró este resultado.
Arquímedes demostró que el área que determina una circunferencia de radio r, es la misma que el área de un triángulo rectángulo de base la longitud de la circunferencia y de altura el radio r.


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Ahora bien, me preguntaréis...¿cómo demostró esto Arquímedes, si no podía construir ese triángulo con regla y compás?
La demostración que utilizó se denomina en matemáticas, demostración por reducción al absurdo.
¿Qué?...Absurdo??...Pues sí...
Si suponemos que algo es cierto y después de seguir un razonamiento lógico, llegamos a una contradicción, es decir a un absurdo, como por ejemplo a que 2 = 0, entonces el punto de partida es falso.
Esta es la demostración de Arquímedes:



Arquímedes utilizó estos polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia para aproximar Pi.


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No solo llegó a una estupenda aproximación de Pi, es más, ideó un algoritmo que fué utilizado por muchos matemáticos después. La idea es calcular Pi con tanta precisión como queramos, utilizando las áreas de polígonos inscritos y circunscritos, doblando sus lados en cada iteración. La pena es que esta serie converge muy, muy lentamente.
Utilizando las fórmulas recurrentes:





Siendo el perímetro del polígono de n lados circunscrito y el perímetro del polígono de n lados inscrito.
Aquí tienes una demostración.

Sin embargo no fue este el algoritmo que Arquímedes utilizó. Los cálculos de Arquímedes se basan en la semejanza de triángulos, el teorema de Pitágoras y muy en particular en la proposición 3 del libro VI de los elementos de Euclides.
Esta proposición dice que al trazar una bisectriz en un ángulo de un triángulo, esta determina un punto en el lado opuesto que divide a este lado en partes proporcionales a los otros dos lados del triángulo.


Os dejo un par de animaciones en flash:





Tener en cuenta que Arquímedes no tenía calculadora, y consiguió unas estupendas aproximaciones a las raíces que aparecen en los cálculos.

Pues después de muchos cálculos y muchos matemáticos que intentaron acercarse a Pi, resulta que este número es trascendente, es decir no es un número algebraico, no es solución de ninguna ecuación polinómoca con coeficientes racionales, y por tanto no es un número construible con regla y compás.

Con esta entrada participo en la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en este mes, es Gaussianos.

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