Anillos.Desenlace final.

-Podría continuar hablando de grupos, y descubrir sus relaciones, sus morfismos , los subgrupos normales,  el grupo cociente, la factorización canónica, las sucesiones exactas…pero todo esto se sale de nuestro entorno curricular, aunque no me reprimo a hablar de uno de mis matemáticos preferidos, el genio Évariste Galois (1811-1832), cuya corta vida es uno de los episodios más trágicos de la historia de las matemáticas. Murió en un duelo antes de cumplir los 21 años, pero por suerte ya nos había dejado su gran legado, la teoría de Galois.

-¡Qué joven! Y ¿ya con 20 años era un famoso matemático?


-No por aquel entonces..., la verdad es que le fue mal en los estudios, era un poco rebelde y solo estudiaba lo que le gustaba… y le gustó mucho la geometría de Legendre. A sus 17 años desarrolló por escrito sus descubrimientos fundamentales, ¡era un genio! con mucha imaginación y gran capacidad de abstracción, tanto, que los matemáticos de aquella época no le hicieron mucho caso, no le entendieron. Sus manuscritos se perdieron en algún cajón de Cauchy, Fourier murió antes de poder leerlos y Poisson, poco tiempo después dijo que su teoría era “incomprensible”. Su obra no fue publicada hasta 1846 por Liouville, pero sus ideas no alcanzaron el merecido reconocimiento hasta un siglo después de que el destino lo tratase de una manera tan cruel.

-¿Y qué fue lo que descubrió?


- El objeto principal de sus investigaciones fue determinar cuándo son resolubles por radicales las ecuaciones polinómicas, y lo resolvió estudiando el grupo simétrico del conjunto de sus raíces. La teoría de Galois nos puede proporcionar, de hecho, un algoritmo para calcular de manera efectiva las raíces de una ecuación, cuando estas son expresables por radicales, pero el énfasis en el planteamiento de Galois de la teoría de ecuaciones está puesto más bien en la estructura algebraica general. A él le debemos la teoría de grupos.

-Bueno, ¿Y los anillos?


-Si…, ya va siendo hora de hablar de los anillos… Son grupos abelianos donde además existe otra operación que satisface la propiedad asociativa y es distributiva respecto de la primera operación.
Por ejemplo si el conjunto es grupo conmutativo con la suma y definimos un producto, ( a , b )→ a · b, entonces :
1. (a · b ) · c = a · ( b · c) para todos a, b , c del conjunto.
2. a · ( b + c ) = a · b + a · c  para todos a, b ,c del conjunto.

¿Quién es el primero en poner un ejemplo de anillo?

-El conjunto de los números enteros, con la suma y la multiplicación.


-Efectivamente, este además, es un anillo con unidad, porque tiene elemento neutro para la segunda operación que es la multiplicación, el uno. Y no solo eso, también es un anillo conmutativo porque su producto verifica la propiedad conmutativa. ¿Algún otro ejemplo?

-Entonces también el conjunto de los números racionales con la suma y la multiplicación.


-Efectivamente, y en este caso, como todo número racional tiene su inverso con el producto, no solo tiene estructura de anillo, sino que es un cuerpo.
-¿Un cuerpo?
- Sí, se llama cuerpo cuando el anillo verifica todas estas propiedades: es conmutativo, tiene unidad y todo elemento tiene inverso.

-Vamos que sería grupo abeliano también con la segunda operación y además las dos operaciones verifican la propiedad distributiva.


-Pues sí,… pero sin contar con el cero ( el elemento neutro de la suma) que no tendría inverso para la multiplicación, es decir consideraríamos todo el conjunto menos el cero, y así, solo con la multiplicación sería un grupo abeliano.

-¿Y por qué los anillos se llaman anillos?


- Aunque el concepto de un anillo se debe a Dedekind, en la década de 1880, anillo viene de traducir "ring" que a su vez viene del término (Zahlring) que fue acuñado por David Hilbert en 1892 y publicado en el artículo Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897. Aquí tenéis una breve explicación, al pie de página, donde habla de la propiedad “circling directly back” algo así como “circular directamente de vuelta”, aunque los alemanes hablan de una transcripción de un vocablo que significaba “club” o algo parecido… el caso es que el término se extendió entre los matemáticos que construyeron la teoría algebraica que hoy conocemos.

-¿Pero esa teoría sirve para algo?

-Por supuesto!, aunque es difícil de explicar… igual que vosotros resolvéis ecuaciones que aparecen en distintos enunciados y en distintas ocasiones, esta teoría se aplica en diversos campos, quizá un físico o un químico podrían exponer un montón de casos concretos, objetos y efectos que ocurren en nuestra naturaleza y pueden ser estudiados gracias a modelos matemáticos.
Los matemáticos a lo largo de la historia han ido poco a poco construyendo la teoría, unas veces por necesidades prácticas, operativas y otras veces intentando resolver  problemas sin solución ( por ejemplo el famoso teorema de Fermat manuscrito en el margen de unos apuntes) y en el camino han descubierto y construido grandes teorías, que a su vez han tenido sus aplicaciones reales en nuestras vidas.

Podemos considerar la estructura de anillo como una abstracción de las propiedades del conjunto de los enteros. Me faltaría hablaros de los ideales, quizá algún día entremos en detalles…Un buen ejemplo, que además vosotros conocéis, es el anillo de los polinomios en una variable, polinomios cuyos coeficientes son números enteros. Igual que factorizáis los números y buscáis los primos que dividen a un número, también factorizáis polinomios, porque es un anillo integro (el cero no tiene divisores) y existe una factorización , y elementos primos y división euclídea… Los matemáticos al generalizar y estudiar la estructura, están demostrando teoremas que pueden aplicarse en muy diversos casos particulares, tanto les da trabajar con números, que con funciones, que con aplicaciones continuas, aplicaciones diferenciables, series formales, matrices, movimientos, ecuaciones… Si tienen la misma estructura, verificarán las mismas propiedades y los mismos teoremas.

Y como no puedo terminar sin proponeros un reto, aquí va...
Sea X un conjunto cualquiera, dado un anillo A, definir dos operaciones de manera que el conjunto de aplicaciones de X en A sea un anillo y demostrar que lo es.

Participamos en la edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas  y no dejéis de visitar a nuestro blog anfitrión: Juegos Topológicos