Seguro que muchos sabéis quién fue Mandelbrot.
El pasado 14 de octubre fallecía el padre de la geometría fractal.
¿Qué será eso de los fractales…? cosas raras de estos matemáticos…- algunos pensaréis.
Frío, frío…, los fractales son sin duda, geométricamente hablando, el estudio más real de la naturaleza.
Ya en los comienzos de esta aventura de ¡Tierra a la vista! vimos algún video.
Hoy, y con motivo del carnaval de matemáticas VII, voy a explicaros algo de esto.
A finales del siglo XIX y principios del XX, aparecieron en el firmamento geométrico una serie de “monstruos” con propiedades sorprendentes: El conjunto de Cantor y las curvas de Peano y Koch. Durante mucho tiempo fueron considerados meras curiosidades, pero llegó Mandelbrot en 1967 y publicó en Science «¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?», donde empezó esta bonita historia de los fractales.
Llegó a la conclusión que todos estos “monstruos” compartían una propiedad, y a esta propiedad le dio el nombre de fractal.
Según Mandelbrot:
Fractal: adj. Que tiene una forma sumamente irregular, o bien, sumamente interrumpida o fragmentada y sigue siendo así a cualquier escala.
El término de fractal viene del latín “fractus” que significa interrumpido o irregular.
Mandelbrot observó que muchas estructuras naturales: nubes, montañas, las líneas de las costas, las redes fluviales, galaxias, las superficies de ruptura de materiales, los conductos pulmonares, los pequeñísimos vasos sanguíneos, helechos y un largo etcétera, que aparentan tanta complejidad, son fractales y en el fondo no son estructuras tan complicadas.
Todas ellas comparten que si se analizan a distintas escalas, se encuentran una y otra vez los mismos elementos básicos. A esta propiedad esencial en teoría de los fractales se le conoce con varios nombres: autosemejanza, escalante, autosimilitud, homotecia interna, etc.
Cantor, Peano y Koch, crearon extraños entes geométricos que Mandelbrot estudió y observó esta propiedad, sus partes, por pequeñas que fueran, eran similares al todo. De hecho fueron los primeros objetos conocidos con dimensiones fraccionarias.
El conjunto de Cantor fue propuesto por George Cantor en 1884 y tiene la curiosa propiedad de ser un conjunto no numerable ( con el mismo cardinal que los números reales) y sin embargo tiene medida nula.
La construcción es sencilla, partimos del intervalo real [0,1] y le quitamos el tercio central (1/3,2/3). Realizamos la misma operación con cada uno de los tercios que quedan, y así, este proceso de eliminar el tercio central (abierto), se va repitiendo hasta el infinito.
En 1890, Giuseppe Peano, sorprendió a todos sus colegas con una curva que llena un cuadrado, Mandelbrot se dio cuenta que es muy similar a ciertos retículos de plantas, redes fluviales, e incluso cortes cerebrales.
Años más tarde, Hilbert, construye otra curva de este tipo, que también rellena un espacio, aunque el proceso de construcción es más sencillo.
Vamos a intentarlo: partimos del cuadrado unidad, dividido en cuatro partes iguales y se unen sus centros. Seguidamente, se divide cada uno de los cuadrados en cuatro partes, y se repite el proceso: se conectan sus centros, comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior derecho. Repitiendo indefinidamente el proceso, obtenemos la curva de Hilbert.
La curva de Koch, propuesta por Helge von Koch en 1904, es continua y cerrada que no tiene tangente en ningún punto, de longitud infinita y encierra un área finita!! más aún, dados dos puntos cualesquiera de la curva, la longitud del arco entre ellos es infinita.
La construcción también es sencilla, se parte de un triángulo equilátero en el que cada lado se divide en tres partes iguales, y se sustituye el tercio central por un promontorio en forma de triángulo equilátero, así sustituimos cada lado por una line poligonal formada por 4/3 del lado original. Y este proceso se repite… ¡por supuesto!... hasta el infinito.
Se comprueba que la longitud total de la curva de Koch en la etapa k es 3(4/3)k, y como 4/3 es mayor que 1, el límite tiende a infinito.
Mandelbrot utilizó la curva de Koch para estudiar y representar la irregularidad de las costas marítimas.
El conjunto de Mandelbrot (1980) es, sin duda, uno de los más bellos y famosos de toda la matemática. La razón de su éxito está en la sencilla definición del conjunto, que permite con la ayuda de un facilísimo programa de ordenador, explorar este maravilloso ente matemático, además la frontera del conjunto es un fractal.
Para definir este conjunto, nos situamos en el plano complejo y hacemos uso de un proceso iterativo. Se parte de la expresión fc(z)=z2+c, donde z y c son números complejos, pero z es variable y c es fijo.
Por ejemplo, z = 0 y c = 1+i
fc(z)= f 1+i(0)=02+(1+i)=1+i
y sustituimos este valor por z:
fc(1+i)=f1+i(1+i)=(1+i)2+(1+i)= 1 + 3i
repetimos este proceso
fc(1+3i)=f1+i(1+3i)=(1+3i)2+1+i=-7+7i
fc(-7-7i)=(-7+7i)2+(1+i)=1-97i
El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los números complejos, c, para los cuales el tamaño de z2+c permanece acotado, es decir |z2+c| no diverge a infinito. Afortunadamente, esta condición no presenta muchas dificultades, ya que se puede asegurar que las iteraciones de z divergen a infinito si y solo si en algunas de las etapas del proceso se cumple |z2+c| ≥ 2. Por otra parte, si después de 1000 iteraciones el módulo no supera a 2 , entonces ya no diverge a infinito.
Un algoritmo para representar el conjunto de Mandelbrot, puede ser el siguiente:
1. Se elige un número c del plano complejo.
2. Se toma z = 0
3. Desde n= 0 hasta 100:
a. Se calcula x = z2+c.
b. Se hace z = x
c. Si z ≥ 2 se va al paso 5.
4. Se representa c
5. Se vuelve al paso 1
6. Fin.
Podemos añadir color, representando los puntos con diversos colores dependiendo de la iteración en la que rebasan a 2, y los puntos del conjunto en negro.
Esta imagen es del conjunto de Mandelbrot en (-2, 0.5)x(-1.25, 1.25) (parte real x parte imaginaria) recuadro a), y sucesivas ampliaciones de su frontera.
No dejéis de ver algunos de los videos sobre este tema en youtube
En esta ocasión tenemos la suerte de contar con un anfitrión estupendo El Máquina de Turing
¡Qué lo disfrutéis!
¿Qué será eso de los fractales…? cosas raras de estos matemáticos…- algunos pensaréis.
Frío, frío…, los fractales son sin duda, geométricamente hablando, el estudio más real de la naturaleza.
Ya en los comienzos de esta aventura de ¡Tierra a la vista! vimos algún video.
Hoy, y con motivo del carnaval de matemáticas VII, voy a explicaros algo de esto.
A finales del siglo XIX y principios del XX, aparecieron en el firmamento geométrico una serie de “monstruos” con propiedades sorprendentes: El conjunto de Cantor y las curvas de Peano y Koch. Durante mucho tiempo fueron considerados meras curiosidades, pero llegó Mandelbrot en 1967 y publicó en Science «¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?», donde empezó esta bonita historia de los fractales.
Llegó a la conclusión que todos estos “monstruos” compartían una propiedad, y a esta propiedad le dio el nombre de fractal.
Según Mandelbrot:
Fractal: adj. Que tiene una forma sumamente irregular, o bien, sumamente interrumpida o fragmentada y sigue siendo así a cualquier escala.
El término de fractal viene del latín “fractus” que significa interrumpido o irregular.
Mandelbrot observó que muchas estructuras naturales: nubes, montañas, las líneas de las costas, las redes fluviales, galaxias, las superficies de ruptura de materiales, los conductos pulmonares, los pequeñísimos vasos sanguíneos, helechos y un largo etcétera, que aparentan tanta complejidad, son fractales y en el fondo no son estructuras tan complicadas.
Todas ellas comparten que si se analizan a distintas escalas, se encuentran una y otra vez los mismos elementos básicos. A esta propiedad esencial en teoría de los fractales se le conoce con varios nombres: autosemejanza, escalante, autosimilitud, homotecia interna, etc.
Cantor, Peano y Koch, crearon extraños entes geométricos que Mandelbrot estudió y observó esta propiedad, sus partes, por pequeñas que fueran, eran similares al todo. De hecho fueron los primeros objetos conocidos con dimensiones fraccionarias.
El conjunto de Cantor fue propuesto por George Cantor en 1884 y tiene la curiosa propiedad de ser un conjunto no numerable ( con el mismo cardinal que los números reales) y sin embargo tiene medida nula.
La construcción es sencilla, partimos del intervalo real [0,1] y le quitamos el tercio central (1/3,2/3). Realizamos la misma operación con cada uno de los tercios que quedan, y así, este proceso de eliminar el tercio central (abierto), se va repitiendo hasta el infinito.
En 1890, Giuseppe Peano, sorprendió a todos sus colegas con una curva que llena un cuadrado, Mandelbrot se dio cuenta que es muy similar a ciertos retículos de plantas, redes fluviales, e incluso cortes cerebrales.
Años más tarde, Hilbert, construye otra curva de este tipo, que también rellena un espacio, aunque el proceso de construcción es más sencillo.
Vamos a intentarlo: partimos del cuadrado unidad, dividido en cuatro partes iguales y se unen sus centros. Seguidamente, se divide cada uno de los cuadrados en cuatro partes, y se repite el proceso: se conectan sus centros, comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior derecho. Repitiendo indefinidamente el proceso, obtenemos la curva de Hilbert.
La curva de Koch, propuesta por Helge von Koch en 1904, es continua y cerrada que no tiene tangente en ningún punto, de longitud infinita y encierra un área finita!! más aún, dados dos puntos cualesquiera de la curva, la longitud del arco entre ellos es infinita.
La construcción también es sencilla, se parte de un triángulo equilátero en el que cada lado se divide en tres partes iguales, y se sustituye el tercio central por un promontorio en forma de triángulo equilátero, así sustituimos cada lado por una line poligonal formada por 4/3 del lado original. Y este proceso se repite… ¡por supuesto!... hasta el infinito.
Se comprueba que la longitud total de la curva de Koch en la etapa k es 3(4/3)k, y como 4/3 es mayor que 1, el límite tiende a infinito.
Mandelbrot utilizó la curva de Koch para estudiar y representar la irregularidad de las costas marítimas.
El conjunto de Mandelbrot (1980) es, sin duda, uno de los más bellos y famosos de toda la matemática. La razón de su éxito está en la sencilla definición del conjunto, que permite con la ayuda de un facilísimo programa de ordenador, explorar este maravilloso ente matemático, además la frontera del conjunto es un fractal.
Para definir este conjunto, nos situamos en el plano complejo y hacemos uso de un proceso iterativo. Se parte de la expresión fc(z)=z2+c, donde z y c son números complejos, pero z es variable y c es fijo.
Por ejemplo, z = 0 y c = 1+i
fc(z)= f 1+i(0)=02+(1+i)=1+i
y sustituimos este valor por z:
fc(1+i)=f1+i(1+i)=(1+i)2+(1+i)= 1 + 3i
repetimos este proceso
fc(1+3i)=f1+i(1+3i)=(1+3i)2+1+i=-7+7i
fc(-7-7i)=(-7+7i)2+(1+i)=1-97i
El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los números complejos, c, para los cuales el tamaño de z2+c permanece acotado, es decir |z2+c| no diverge a infinito. Afortunadamente, esta condición no presenta muchas dificultades, ya que se puede asegurar que las iteraciones de z divergen a infinito si y solo si en algunas de las etapas del proceso se cumple |z2+c| ≥ 2. Por otra parte, si después de 1000 iteraciones el módulo no supera a 2 , entonces ya no diverge a infinito.
Un algoritmo para representar el conjunto de Mandelbrot, puede ser el siguiente:
1. Se elige un número c del plano complejo.
2. Se toma z = 0
3. Desde n= 0 hasta 100:
a. Se calcula x = z2+c.
b. Se hace z = x
c. Si z ≥ 2 se va al paso 5.
4. Se representa c
5. Se vuelve al paso 1
6. Fin.
Podemos añadir color, representando los puntos con diversos colores dependiendo de la iteración en la que rebasan a 2, y los puntos del conjunto en negro.
Esta imagen es del conjunto de Mandelbrot en (-2, 0.5)x(-1.25, 1.25) (parte real x parte imaginaria) recuadro a), y sucesivas ampliaciones de su frontera.
En esta ocasión tenemos la suerte de contar con un anfitrión estupendo El Máquina de Turing
¡Qué lo disfrutéis!
Entradas
Jo Cantarino, que interesante y que bien contado el artículo de los fractales, si me viera la mi Pepa leyendo estas cosas, que bien sabéis lo que me cuestan los espacios. Y los tiempos, jaja, debe de ser por eso que cada día hablo de vosotros en presente! y así será,no puedo con el valle!!!!!!felicidades a los karatekas!y besos pa todos
ResponderEliminarOye Luz, que te veo super animada con el blog,¿por qué no nos publicas algo?...no sé..una receta de cocina...jeje...un comentario de alguna novela que hayas leido ultimamente...o lo que se te ocurra...
ResponderEliminarSolo tienes que acceder (arriba del todo a la derecha) y entrar con tu contraseña, y a editar
Es fácil, pero si tienes algún problema, yo te ayudo.
Hice una entrada con algo de ayuda
http://iestierra.blogspot.com/search/label/Ayudas
Besos guapetona
jaja, pero qué bien conoces las limitaciones humanas! lo que tengo para publicar ya lo estoy haciendo, la parte intelectual se la cedo gustosa a otros, jeje. En serio, cuando me parezca que pueda poner algo interesante publicaré, no aseguro nada. Y no dudes que cogeré de mil amores tu ayuda. Me tienes que hablar del blog de educación sexual que me he quedado flipada, para bien, claro.Besis
ResponderEliminarEl blog de educación sexual lo hicieron el curso pasado alumnos de Alejandro, les daba TIC en 1º de Bachillerato.
ResponderEliminarA ver si se animan y continuan con él.