Matemáticas y Halloween

Hoy quiero felicitar las fiestas a mis compis matemáticos, pues hoy estamos de celebración por ser San Alberto Magno, patrón de los estudiantes de ciencias exactas, químicas y naturales.
También es un día señalado en mi agenda ... comienza el VIII carnaval de matemáticas!!, con un magnífico anfitrión “ Los matemáticos no son gente seria” , un estupendo blog de un compañero manchego: Juan Martínez-Tébar Giménez.

Tito Eliatrón Dixit que inició esta maravillosa aventura del carnaval, nos propone un tema: Halloween. Yo no sé..., pero dicen que es una fiesta de origen celta, más extendida en las culturas anglosajonas, aunque desde que los más peques estudian inglés en el cole, y se hacen expertos en vocabulario halloween, este día se celebra cada vez más, con disfraces monstruosos, cuentos de misterio, tinieblas, golosinas y sorpresas.

En matemáticas también tenemos disfraces, cuentos de misterio , golosinas, sorpresas y por supuesto muchas telas de araña. Por cierto si te gustan las simetrías, intenta dibujar una bonita tela de araña en esta página (es facilísimo).
Cuentos de misterio hay unos cuantos pero hoy propongo uno que a mi me gustó particularmente. Se titula “El matemático asesinado” de Harry Stephen Keeler . ¿Sabrías deducir una fecha a partir de este dibujo?

Disfraces. En matemáticas hay muchos disfraces porque podemos mirar los objetos matemáticos desde distintos puntos de vista, desde distintas realidades geométricas, desde distintas dimensiones, desde distintos espacios algebraicos y en cada uno de ellos el objeto se disfraza con un traje diferente. No hace falta complicarse mucho, pues dentro de la aritmética elemental, todas las infinitas fracciones equivalentes que podemos construir no son más que disfraces de un único valor (¿recordáis la poesía de las fracciones?).

Y golosinas, esas dulces y agradables sensaciones que obtenemos con nuestros pequeños y grandes logros, descubrimientos, razonamientos con los que superamos obstáculos, con los que solucionamos un problema o entendemos una demostración.

Sí, porque no es lo mismo demostrar un teorema que entenderlo. Por poner un ejemplo, ( que hay muchos, tantos como “usuarios”, pues las experiencias son individuales y lo que a unos les sirve a otros no y viceversa ) tomemos algo sencillo de geometría plana..., sencillo pero sorprendente : el Teorema de Varignon : “La figura formada cuando se unen en el orden dado los puntos medios de un cuadrilátero convexo es un paralelogramo”
Así enunciado, no es que suene muy sorprendente, pero si te paras a pensar, es como si dentro del caos hubiera un orden...vamos a hacer la prueba: dibuja un polígono convexo cualquiera, el que te salga...ahora une los puntos medios de los lados...Ahí está...un perfecto paralelogramo!! Prueba otra vez, por muy caprichoso que sea el cuadrilátero original, la conclusión es siempre la misma.



La demostración algebraica es bien sencilla, calculamos las componentes de los vectores que forman los lados del paralelogramo y vemos que efectivamente son iguales. Si A(a1,a2) , B(b1,b2), C(c1, c2), D(d1,d2) entonces punto medio E((a1+b1)/2, (a2+b2)/2) ... y llegamos a

GE=((b1-d1)/2, (b2-d2)/2)=FH , por tanto son paralelos y hemos demostrado el teorema.

Sin embargo, ¿hemos entendido realmente por qué rayos aparece un paralelogramo?...creo que no... Lo hemos demostrado pero nos quedamos igual de sorprendidos. En matemáticas hay que ir más allá y no quedarnos solo en una demostración formal y algebraica sino buscar una explicación que nos convenza. Realmente lo bonito de las matemáticas aparece cuando las entendemos, y eso es lo que tenéis que buscar siempre para no andar entre “tinieblas”.

Veamos únicamente la mitad del dibujo:

Dan ganas de trazar otra línea no?...hagámoslo pues:

Este escenario ya nos resulta bastante más familiar no? Por lo menos espero que a la mayoría...si no es tu caso repasa el Teorema de Thales. Las dos líneas son paralelas y además una es exactamente la mitad de la otra. Ahora completemos el dibujo original:

Tenemos exactamente lo mismo del otro lado, y por tanto GE y FH son iguales y paralelas...luego ahí está nuestro perfecto paralelogramo. Y no solo eso, además el área es exactamente la mitad que el del cuadrilátero dado.

Pues bien ahora podemos preguntarnos ¿ Y si cambiamos de disfraz?...es decir ¿ y si lo miramos en tres dimensiones?, o bien ¿Y si consideramos un cuadrilátero no convexo?.. ¿a dónde podemos llegar?...

¡Feliz carnaval!