Anillos. ( Primera parte )

¿Qué es un anillo?, si asaltas con esta pregunta en clase, todos los alumnos coinciden más o menos en sus respuestas:
Una sortija para colocar en el dedo..., un aro que representa el compromiso en algunas religiones, como el sacramento del matrimonio... una formación celeste que circunda determinados planetas… Incluso alguno le echa imaginación; La sección de un cilindro cortado por dos planos paralelos entre sí y perpendiculares al eje del cilindro.

Pues no. No van por ahí los tiros.
Un anillo en matemáticas es el nombre de una estructura...

Pero antes tenemos que hablar de su hermano pequeño: el grupo.

-¿Qué diríais vosotros que es un grupo?
-Un conjunto de cosas o de personas...
-Entonces... ¿Qué diferencia hay  entre un grupo y un conjunto?
...breve silencio…
-Quizá se utiliza grupo, cuando es un conjunto de personas o cosas con alguna relación entre ellas.

Bueno vamos bien…
En matemáticas un grupo se forma dentro de un conjunto donde definimos una aplicación en la que a cada par de elementos del conjunto le hacemos corresponder otro elemento del conjunto. Esto lo denotamos:



Y además esta aplicación verifica tres cosas:
1. Es asociativa.



2. Posee elemento neutro.



3. Cada elemento del grupo tiene su inverso.



Fijaos que el elemento neutro es único.
Una pista: supongamos que hay dos diferentes…e y e’.
Por un lado e+e’=e por ser e’ elemento neutro, pero por otro lado e+e’=e’ por ser e elemento neutro, luego e=e’.

Bueno…
- ¿Habéis entendido algo?

Todos copiando como locos, y nadie responde.
Veamos...
-¿Qué es una aplicación?

...Silencio sepulcral...

-¿Y una función?
Esto a todos les suena más.
-Es cuando a un número le hacemos corresponder otro: y = f(x).
-Bueno, no es del todo exacto. ¿Alguno puede hacer una representación gráfica de una función?

Sale un valiente a la pizarra y dibuja unos ejes de coordenadas y una recta, nos explica que el eje horizontal representa los números reales, el conjunto de partida,  y el eje vertical  también son los números reales, el conjunto de llegada,  y que para cada número real x hay un número real y=f(x).

-Perfecto, pero si dibujo una circunferencia…¿qué es lo que falla?
Todos se dan cuenta de que si tomo un número en el eje horizontal, tengo dos imágenes ¿cuál tomamos?

-Eso no es una función.
-No, no lo es. Entonces ¿qué es una función?
-A cada punto del conjunto inicial le hacemos corresponder un único punto del conjunto final.
-Muy bien chicos. Se llama función cuando los conjuntos son numéricos, por ejemplo la recta que está pintada en la pizarra es una función real de variable real. Si el conjunto no es numérico se suele utilizar la palabra aplicación. Por ejemplo:

Sí es aplicación

Sí es aplicación

NO es aplicación

NO es aplicación

-Consideremos un conjunto y veamos si podríamos formar un grupo con él. ¿Alguna sugerencia?
-Los números naturales.
-¿Y la aplicación?
-La suma.
-¡Qué poca imaginación!...pero veamos… ¿Forman grupo?
Es asociativa…, tiene elemento neutro ( suponiendo que el cero está contenido en los números naturales), ¿Todo elemento tiene inverso?...pues no. No nos sirve.
-Entonces con los números enteros.
-¡Muy bien! Los números enteros con la suma, verifican las tres propiedades.
Además este grupo verifica la propiedad conmutativa, pues para todo par de números enteros a y b se verifica a+b=b+a. A estos grupos se les llama grupos conmutativos o abelianos, pero hay otros grupos que no son conmutativos. Busquemos un ejemplo. ¿Alguna idea?
-No podemos coger como conjuntos los números racionales, ni los reales, porque todos verifican la propiedad conmutativa...
- Pues pensad en conjuntos de otras cosas, que no sean números.

…Silencio sepulcral…

-Hemos hablado de aplicaciones… y si tomamos, por ejemplo, aplicaciones en vez de números?
-¿Aplicaciones?... pero ¿eso sirve?
-Bueno..., intentémoslo a ver que sale. Imaginemos un conjunto de cosas, las que queráis y consideremos todas las posibles aplicaciones entre ese conjunto y él mismo:

-¿Qué operación podemos hacer con las aplicaciones?
-Sumarlas
-Tened en cuenta que no estamos trabajando con conjuntos numéricos, por tanto no tiene sentido la suma.
-Ya lo tengo!...la composición de funciones!
-Fenomenal!, pero no hablamos de funciones ¿te acuerdas?...Dadas dos aplicaciones, llamémoslas g y g’, la composición es otra aplicación, es hacer una y seguida la otra... así que...nos sirve.

-Veamos si verifican las tres propiedades:
 Es asociativa, la demostración os la dejo a vosotros…
Tiene elemento neutro: la aplicación identidad que asocia a cada elemento el mismo.
¿Existe la aplicación inversa? Sería hacer el recorrido empezando por el final...aquí tenemos un problemilla…¿alguien me dice cuál es?
 -En el ejemplo anterior si hacemos el camino al contrario, la manzana tendría dos imágenes y  las cerezas no tendrían imagen, no sería aplicación!!
 -Bien, entonces...¿cómo lo arreglamos?
   
      Os dejo pensarlo tranquilamente y continuamos mañana…


Con esta entrada participo en la edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas que tiene por anfitrión un estupendo blog: Juegos Topológicos