Anillos. ( Segunda parte )

Antes de poder articular un alegre “buenos días”…
-Hemos solucionado el problema para poder formar grupo con las aplicaciones de un conjunto
-¿De veras? Contadme.
- Basta considerar únicamente aplicaciones biyectivas, es decir que cada elemento se corresponda con un único elemento y viceversa, todo elemento tenga una única imagen. De esta manera no tenemos problemas al tomar la aplicación inversa.
-Muy bien chicos. Problema solucionado.

Hemos construido un grupo ( G,◦ ) , con G = Aut(X) = {Aplicaciones biyectivas de X en X} y la aplicación: GxG → G , (g,g’) → g ◦ g’ la composición de aplicaciones, que verifica las tres propiedades: asociativa, existe elemento neutro que es la aplicación identidad y para todo elemento g existe su inverso g^-1 ,que es la aplicación inversa que existe por ser g biyectiva.

Este es un buen ejemplo de grupo no conmutativo, puesto que la composición de aplicaciones no verifica la propiedad conmutativa. En general no es lo mismo g ◦ g’ que g’◦ g.

Este grupo que acabáis de construir es muy importante en matemáticas, y en particular cuando el conjunto a considerar son los primeros n números naturales, X = {1,2,3,…,n}, entonces se denomina de una manera especial: grupo simétrico n-ésimo.
-Entonces los elementos del grupo serían permutaciones.
-Efectivamente... ¿cuántos elementos tendría este grupo?
-n! = n·(n-1)·(n-2)···2·1
-Muy bien, veo que hoy estáis más receptivos…
Dentro de un grupo, podemos considerar subgrupos, que serían subconjuntos del grupo, pero manteniendo la estructura, es decir tendrían el elemento neutro, y para cada elemento su inverso, además dados dos elementos del subconjunto su producto también estaría dentro del subconjunto, por ejemplo dentro del grupo simétrico tenemos los grupos diedrales, que se corresponden con las simetrías de un polígono regular de n lados (rotaciones y reflexiones especulares).

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Y hablando de geometría, hay un grupo llamado afín unidimensional, que tampoco es conmutativo, el conjunto está formado por pares de números reales, el primero distinto de cero.



La aplicación que le da esa estructura de grupo es la siguiente:




¿cuál sería el elemento neutro?
-El (1,0) porque ( λ , a ) * ( 1 , 0 ) = ( λ·1 , λ·0+a ) = ( λ , a )
-Muy bien!! Y ¿cuál sería el elemento inverso de ( λ , a )?
-Tendría que verificar ( λ , a ) * ( m , b ) = ( 1 , 0 ).
Podemos resolver la ecuación
λ · m = 1,    luego m =1/λ, y
 λ · b + a = 0,    luego b = -a/λ.
Es decir

Claro! Por eso λ no puede ser cero!
-Perfecto chicos. Este grupo es importante porque establece los invariantes geométricos al actuar sobre un conjunto de “puntos”. Sin entrar en detalles, digamos que el primer número se utiliza para dilatar (se multiplica) y el segundo número se utiliza para trasladar (se suma).

-Otro ejemplo de grupo no conmutativo es el grupo general lineal cuyo conjunto es el de matrices cuadradas de orden n de números reales. ¿Recordáis las matrices?

-Sí, las “cajas” de números, pero solo operamos con las de orden dos y tres.
-Bueno, se puede generalizar hasta el orden que queráis, pero si os resulta más fácil, considerar las de orden dos. Tomemos como aplicación para nuestro grupo, la multiplicación de matrices, que es asociativa. ¿Cuál sería el elemento neutro?
-La matriz identidad, esa que tiene unos en la diagonal y el resto ceros.
-Bien, y… ¿hay elemento inverso?
-Solo tenían inversa las matrices con determinante distinto de cero.
-Pues entonces… ¿cúal sería nuestro conjunto?
-Las matrices cuadradas con determinante distinto de cero.
-Estupendo, veo que vais entendiendo la estructura del grupo… Dentro hay varios subgrupos importantes. Sería un estupendo trabajo buscar algún subgrupo, por ejemplo ¿qué pasa si tomamos matrices cuyo determinante sea la unidad, formarían subgrupo?, ¿y si tomamos matrices, que verifiquen que ellas por sus traspuestas sean la matriz identidad?

-Un último ejemplo de grupo, esta vez conmutativo, y uno de mis preferidos, es el grupo formado por el conjunto de las clases de restos módulo n.
-Eso si que no nos suena de nada…
Veamos…
Consideremos el conjunto de los números enteros. Y elijamos un n particular, venga, un número cualquiera…
-El cinco
-Vale, aunque ya sabéis que podemos fijar cualquiera, en este caso n será cinco. Vamos a formar un conjunto de solo cinco elementos, pero vamos a tener en cuenta a todos los números enteros. ¿Cómo lo hacemos?
-A ver si lo he entendido..., ¿cogemos todos los enteros y los agrupamos en cinco clases?
-Eso es…¿alguna idea?
-Puedo cambiar n?
-Bueno
-Pues n=2
-Y ¿por qué cambias a dos?
-Porque podemos hacer dos clases: pares e impares.
-Estupendo, no esta mal para empezar. ¿Dónde colocamos el cero?
-Pues no sé… venga pues n=3, pares, impares y el cero.
-Eso me gusta menos… ¿Os acordáis de la expresión algebraica que usábamos para los pares y los impares?
-Si, si…2x y 2x+1, donde x podía ser cualquier número.
-Bien, pues ¿que encaja mejor con el cero?
- 2·0=0, con los pares?
- Bueno, es la mejor opción. Realmente lo que hacemos para saber si un número es par es dividirlo entre dos y si la división es exacta resulta que es par, en caso contrario sería impar. Nuestro caso para n=2 está resuelto, pero ¿y si n = 3? ¿qué hacemos?

…Silencio…

-Veamos, si dividimos cualquier número entre 3, ¿qué restos podemos obtener?
-0 , si la división es exacta, 1 y 2
-Y si dividimos por 5
-0, 1, 2, 3 y 4
- Ya lo tenéis, esas serán las clases de restos módulo 5. Y tenemos en cuenta a todos los números! Ahora necesitamos una operación para el grupo ¿cuál?
-La suma
-Vale, pero podemos definir una suma +_n "especial" :  a +_n b = resto de dividir a+b por n.
donde n en nuestro caso particular es cinco. Perfecto, la suma es asociativa. ¿cuál sería el elemento neutro?
-el cero
-¿Qué números entrarían dentro de esta clase?, es decir ¿qué números al dividir por cinco tienen de resto cero?
-5, 10, 15, 20…todos los múltiplos de cinco
-Perfecto, todos esos números estarían en la clase del elemento neutro. Muy bien. Y ¿cuál sería el inverso del 1?
-El -1?
-Estamos en un conjunto donde solo hay cinco elementos {0,1,2,3,4}, y hemos clasificado a todos los números, es decir el -1 estaría en una de estas clases ¿en cuál?
- Pero -1 es menor que cinco y no podemos dividirlo…
-Vale, pero al -1 podéis sumarle cualquier múltiplo de cinco, porque sería como sumarle cero...
-Entonces -1 estaría en la misma clase que el 4
-No solo eso, sino que el 4 sería el inverso del 1, porque 1+4=5=0
-Ahh…ya lo he entendido!! Entonces el inverso del 2 sería el 3, y el inverso del 3 el 2, y el inverso del 4 el 1…
-Eso es, todo elemento tiene su inverso…¡Tenemos grupo!

Creo que ya estáis preparados para conocer a su hermano mayor: el Anillo

Pero eso será otro día pequeñuelos…

Esta entrada también participa en la edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas  donde ya podéis visitar algunos estupendos post del carnaval, y a nuestro anfitrión que está haciendo un estupendo trabajo: Juegos Topológicos