Dado un hexágono regular, se dibujan seis triángulos rectángulos iguales, de ángulos 30 y 60 grados, como en la figura:
¿Qué proporción del área del hexágono mayor representa el área del hexágono menor?
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La proporción debe de ser 1/2.
ResponderEliminarLo he hecho moviendo mentalmente los triángulos, pero me imagino que habrá fórmula propia.
Comprueba tus cálculos, porque no es correcto.
ResponderEliminarY es que a veces, Luis, los objetos no son tan grandes como parecen (ilusiones ópticas).
La fórmula del área de un polígono regular es:
$$A=\frac{n \cdot l\cdot apotema}{2}$$
siendo $n$ el número de lados y $l$ la longitud de cada lado, es decir nxl=perímetro.
Aunque hay varias maneras de hacerlo, yo utilizaría el teorema de Thales en triángulos proporcionales y la simetría de la figura.
Dos observaciones:
ResponderEliminar- Todos los triángulos cuyos ángulos son 30,60,90 son semejantes y por Thales sus lados homólogos son proporcionales.(Utilizando esto yo llegaría a la relación que hay entre el lado del hexágono mayor y el lado del hexágono menor)
- Si $k$ es la constante de proporcionalidad entre los lados, entonces $k^2$ es la constante de proporcionalidad entre las áreas.
Por si alguien no lo sabe...si dos triángulos son semejantes, es decir tienen los tres ángulos iguales,Thales dice:
ResponderEliminar$$\frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}=\frac{c}{\gamma}=k $$
Donde $a,b,c$ son los lados de un triángulo y $\alpha , \beta , \gamma $ son los lados homólogos del otro.
sen 30 = 1/2; por lo que el lado del hexágono pequeño es 1/2 del grande. El área de un hexágono es proporcional a la de sus triángulos equilateros que van del centro a cada uno de los lados. La altura, que es h = raíz (3) b/2 es también proporcional a la base y el área de cada triángulo proporcional al producto de la base por la altura; por lo que el hexágono pequeño tiene un área de 1/2*1/2 = 1/ 4 del grande.
ResponderEliminarCreo que te equivocas Robín... El lado del hexágono pequeño NO es la mitad del lado del hexágono mayor.
ResponderEliminarTienes razón, Ana; qué vergüenza ! Soy a veces medio disléxico. En este caso, he procedido, no conscientemente, a realizar una doble inversión de datos: la de seno, por el coseno; y la de la diagonal del Triángulo rectángulo, con el lado del hexágono mayor. Fatal, de haber sido yo el piloto del Gemini 13. Sólo me consuela el hecho de que el resto del razonamiento es correcto, o eso creo. Voy a rehacerlo ahora mismo.
ResponderEliminarHombre, quizá el piloto se salvara... mucho peor si haces el diseño, fatal el acoplamiento...
ResponderEliminarA por él Robín!
Saludos
Sean L y l los lados del hexágono grande y del pequeño. Vemos por trigonometría simple que
ResponderEliminarl = L/cos 30 -L tg 30 = L (1-sen 30)/cos 30 =
L/ 2 cos 30. Notemos que la diagonal d de los triángulos rectángulos, mide L /cos 30 por lo que d = 2l.
El área de un hexágono es proporcional al de los triángulos equiláteros que van de su centro a cada uno de sus lados y el de estos al cuadrado de su lado. En palabras menos gruesas A1/A2 = L^2/l^2 = (L/l)^2 = (2 cos 30)^2 = 4 cos ^2 30
= 4 3/4 = 3.
Muy bonito el problema. No soy yo profesor ni matemático, ni siquiera científico (no estoy muy acostumbrado). Espero no haberme equivocado esta vez.
No tengo ahora cámara fotográfica digital, pero en las analógicas, con película química; el diafragma que permitía la entrada de más o menos luz, y a la vez la regulación de la profundidad de campo nítido; consistía de triangulillos metálicos o de otro material, muy finos de este tipo, situados de esa forma, creo recordar , hexagonalmente. De tal manera, además, que en cada posición sucesiva del diafragma hexagonal, el área que permite la entrada de la luz, fuera la mitad de la del hexágono anterior. Pero no pienso yo ponerme a calcular las proporciones lineales en cada caso.
ResponderEliminarSaludos desde Bilbao; Ana. No conozco yo vuestra bella provincia.
Robín te he respondido
ResponderEliminaren este enlace
Cuando quieras estas invitado a tomar unas cañas en Salamanca.
Saludos