viernes, 11 de noviembre de 2011
martes, 8 de noviembre de 2011
sábado, 22 de octubre de 2011
Hank III
Esta semana Marcos, nuestro profesor de música, me ha recomendado que escuche a Hank III, nacido en 1972 en Nashville (Tenesse), nieto de Hank Williams e hijo de Hank Williams Jr. Según la wikipedia, su sonido, difícil de clasificar, se mueve entre el punk y las diferentes variantes de la música country, habiendo sido definido como hard-twang, punkabilly, cowpunk, country alternativo, slacker swing, hellbilly o honky punk (reconozco que estos "palabros" me hacen sentir como un analfabeto musical)
Aquí lo tenéis:
Más información y más música:
www.hank3.com
www.myspace.com/hank3
martes, 18 de octubre de 2011
Madrugando
Todos los días, cuando paso por conserjería, echo un vistazo al cuaderno de los retrasos donde la gente se apunta y explica por qué no ha llegado a las 8:30. Me sorprende la cantidad de gente que utiliza la misma excusa "me he dormido". Hoy quiero ponerles una sugerencia.
jueves, 21 de julio de 2011
Laberintos con bolas
Si os gustaron los laberintos que vimos aquí, os gustará esta nueva versión con más bolas. Lo he encontrado en una página estupenda que os animo a visitar: Juegos de lógica y estrategia.
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viernes, 15 de julio de 2011
jueves, 14 de julio de 2011
Laberintos
Desde la web de yupis traigo un interesante juego, son once laberintos, ¡a ver quién llega al último!
Utilizar las flechas del teclado para mover el punto rojo hacia el azul.
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¿Te gustán los laberintos?...Entonces te gustará leer sobre laberintos y matemáticas, o intentar resolver algunos famosos laberintos.
Utilizar las flechas del teclado para mover el punto rojo hacia el azul.
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¿Te gustán los laberintos?...Entonces te gustará leer sobre laberintos y matemáticas, o intentar resolver algunos famosos laberintos.
viernes, 1 de julio de 2011
Anillos.Desenlace final.
-Podría continuar hablando de grupos, y descubrir sus relaciones, sus morfismos , los subgrupos normales, el grupo cociente, la factorización canónica, las sucesiones exactas…pero todo esto se sale de nuestro entorno curricular, aunque no me reprimo a hablar de uno de mis matemáticos preferidos, el genio Évariste Galois (1811-1832), cuya corta vida es uno de los episodios más trágicos de la historia de las matemáticas. Murió en un duelo antes de cumplir los 21 años, pero por suerte ya nos había dejado su gran legado, la teoría de Galois.
-¡Qué joven! Y ¿ya con 20 años era un famoso matemático?
-No por aquel entonces..., la verdad es que le fue mal en los estudios, era un poco rebelde y solo estudiaba lo que le gustaba… y le gustó mucho la geometría de Legendre. A sus 17 años desarrolló por escrito sus descubrimientos fundamentales, ¡era un genio! con mucha imaginación y gran capacidad de abstracción, tanto, que los matemáticos de aquella época no le hicieron mucho caso, no le entendieron. Sus manuscritos se perdieron en algún cajón de Cauchy, Fourier murió antes de poder leerlos y Poisson, poco tiempo después dijo que su teoría era “incomprensible”. Su obra no fue publicada hasta 1846 por Liouville, pero sus ideas no alcanzaron el merecido reconocimiento hasta un siglo después de que el destino lo tratase de una manera tan cruel.
-¿Y qué fue lo que descubrió?
- El objeto principal de sus investigaciones fue determinar cuándo son resolubles por radicales las ecuaciones polinómicas, y lo resolvió estudiando el grupo simétrico del conjunto de sus raíces. La teoría de Galois nos puede proporcionar, de hecho, un algoritmo para calcular de manera efectiva las raíces de una ecuación, cuando estas son expresables por radicales, pero el énfasis en el planteamiento de Galois de la teoría de ecuaciones está puesto más bien en la estructura algebraica general. A él le debemos la teoría de grupos.
-Bueno, ¿Y los anillos?
-Si…, ya va siendo hora de hablar de los anillos… Son grupos abelianos donde además existe otra operación que satisface la propiedad asociativa y es distributiva respecto de la primera operación.
Por ejemplo si el conjunto es grupo conmutativo con la suma y definimos un producto, ( a , b )→ a · b, entonces :
1. (a · b ) · c = a · ( b · c) para todos a, b , c del conjunto.
2. a · ( b + c ) = a · b + a · c para todos a, b ,c del conjunto.
¿Quién es el primero en poner un ejemplo de anillo?
-El conjunto de los números enteros, con la suma y la multiplicación.
-Efectivamente, este además, es un anillo con unidad, porque tiene elemento neutro para la segunda operación que es la multiplicación, el uno. Y no solo eso, también es un anillo conmutativo porque su producto verifica la propiedad conmutativa. ¿Algún otro ejemplo?
-Entonces también el conjunto de los números racionales con la suma y la multiplicación.
-Efectivamente, y en este caso, como todo número racional tiene su inverso con el producto, no solo tiene estructura de anillo, sino que es un cuerpo.
-¿Un cuerpo?
- Sí, se llama cuerpo cuando el anillo verifica todas estas propiedades: es conmutativo, tiene unidad y todo elemento tiene inverso.
-Vamos que sería grupo abeliano también con la segunda operación y además las dos operaciones verifican la propiedad distributiva.
-Pues sí,… pero sin contar con el cero ( el elemento neutro de la suma) que no tendría inverso para la multiplicación, es decir consideraríamos todo el conjunto menos el cero, y así, solo con la multiplicación sería un grupo abeliano.
-¿Y por qué los anillos se llaman anillos?
- Aunque el concepto de un anillo se debe a Dedekind, en la década de 1880, anillo viene de traducir "ring" que a su vez viene del término (Zahlring) que fue acuñado por David Hilbert en 1892 y publicado en el artículo Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897. Aquí tenéis una breve explicación, al pie de página, donde habla de la propiedad “circling directly back” algo así como “circular directamente de vuelta”, aunque los alemanes hablan de una transcripción de un vocablo que significaba “club” o algo parecido… el caso es que el término se extendió entre los matemáticos que construyeron la teoría algebraica que hoy conocemos.
-¿Pero esa teoría sirve para algo?
-Por supuesto!, aunque es difícil de explicar… igual que vosotros resolvéis ecuaciones que aparecen en distintos enunciados y en distintas ocasiones, esta teoría se aplica en diversos campos, quizá un físico o un químico podrían exponer un montón de casos concretos, objetos y efectos que ocurren en nuestra naturaleza y pueden ser estudiados gracias a modelos matemáticos.
Los matemáticos a lo largo de la historia han ido poco a poco construyendo la teoría, unas veces por necesidades prácticas, operativas y otras veces intentando resolver problemas sin solución ( por ejemplo el famoso teorema de Fermat manuscrito en el margen de unos apuntes) y en el camino han descubierto y construido grandes teorías, que a su vez han tenido sus aplicaciones reales en nuestras vidas.
Podemos considerar la estructura de anillo como una abstracción de las propiedades del conjunto de los enteros. Me faltaría hablaros de los ideales, quizá algún día entremos en detalles…Un buen ejemplo, que además vosotros conocéis, es el anillo de los polinomios en una variable, polinomios cuyos coeficientes son números enteros. Igual que factorizáis los números y buscáis los primos que dividen a un número, también factorizáis polinomios, porque es un anillo integro (el cero no tiene divisores) y existe una factorización , y elementos primos y división euclídea… Los matemáticos al generalizar y estudiar la estructura, están demostrando teoremas que pueden aplicarse en muy diversos casos particulares, tanto les da trabajar con números, que con funciones, que con aplicaciones continuas, aplicaciones diferenciables, series formales, matrices, movimientos, ecuaciones… Si tienen la misma estructura, verificarán las mismas propiedades y los mismos teoremas.
Y como no puedo terminar sin proponeros un reto, aquí va...
Sea X un conjunto cualquiera, dado un anillo A, definir dos operaciones de manera que el conjunto de aplicaciones de X en A sea un anillo y demostrar que lo es.
Participamos en la edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas y no dejéis de visitar a nuestro blog anfitrión: Juegos Topológicos
-¡Qué joven! Y ¿ya con 20 años era un famoso matemático?
-No por aquel entonces..., la verdad es que le fue mal en los estudios, era un poco rebelde y solo estudiaba lo que le gustaba… y le gustó mucho la geometría de Legendre. A sus 17 años desarrolló por escrito sus descubrimientos fundamentales, ¡era un genio! con mucha imaginación y gran capacidad de abstracción, tanto, que los matemáticos de aquella época no le hicieron mucho caso, no le entendieron. Sus manuscritos se perdieron en algún cajón de Cauchy, Fourier murió antes de poder leerlos y Poisson, poco tiempo después dijo que su teoría era “incomprensible”. Su obra no fue publicada hasta 1846 por Liouville, pero sus ideas no alcanzaron el merecido reconocimiento hasta un siglo después de que el destino lo tratase de una manera tan cruel.
-¿Y qué fue lo que descubrió?
- El objeto principal de sus investigaciones fue determinar cuándo son resolubles por radicales las ecuaciones polinómicas, y lo resolvió estudiando el grupo simétrico del conjunto de sus raíces. La teoría de Galois nos puede proporcionar, de hecho, un algoritmo para calcular de manera efectiva las raíces de una ecuación, cuando estas son expresables por radicales, pero el énfasis en el planteamiento de Galois de la teoría de ecuaciones está puesto más bien en la estructura algebraica general. A él le debemos la teoría de grupos.
-Bueno, ¿Y los anillos?
-Si…, ya va siendo hora de hablar de los anillos… Son grupos abelianos donde además existe otra operación que satisface la propiedad asociativa y es distributiva respecto de la primera operación.
Por ejemplo si el conjunto es grupo conmutativo con la suma y definimos un producto, ( a , b )→ a · b, entonces :
1. (a · b ) · c = a · ( b · c) para todos a, b , c del conjunto.
2. a · ( b + c ) = a · b + a · c para todos a, b ,c del conjunto.
¿Quién es el primero en poner un ejemplo de anillo?
-El conjunto de los números enteros, con la suma y la multiplicación.
-Efectivamente, este además, es un anillo con unidad, porque tiene elemento neutro para la segunda operación que es la multiplicación, el uno. Y no solo eso, también es un anillo conmutativo porque su producto verifica la propiedad conmutativa. ¿Algún otro ejemplo?
-Entonces también el conjunto de los números racionales con la suma y la multiplicación.
-Efectivamente, y en este caso, como todo número racional tiene su inverso con el producto, no solo tiene estructura de anillo, sino que es un cuerpo.
-¿Un cuerpo?
- Sí, se llama cuerpo cuando el anillo verifica todas estas propiedades: es conmutativo, tiene unidad y todo elemento tiene inverso.
-Vamos que sería grupo abeliano también con la segunda operación y además las dos operaciones verifican la propiedad distributiva.
-Pues sí,… pero sin contar con el cero ( el elemento neutro de la suma) que no tendría inverso para la multiplicación, es decir consideraríamos todo el conjunto menos el cero, y así, solo con la multiplicación sería un grupo abeliano.
-¿Y por qué los anillos se llaman anillos?
- Aunque el concepto de un anillo se debe a Dedekind, en la década de 1880, anillo viene de traducir "ring" que a su vez viene del término (Zahlring) que fue acuñado por David Hilbert en 1892 y publicado en el artículo Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897. Aquí tenéis una breve explicación, al pie de página, donde habla de la propiedad “circling directly back” algo así como “circular directamente de vuelta”, aunque los alemanes hablan de una transcripción de un vocablo que significaba “club” o algo parecido… el caso es que el término se extendió entre los matemáticos que construyeron la teoría algebraica que hoy conocemos.
-¿Pero esa teoría sirve para algo?
-Por supuesto!, aunque es difícil de explicar… igual que vosotros resolvéis ecuaciones que aparecen en distintos enunciados y en distintas ocasiones, esta teoría se aplica en diversos campos, quizá un físico o un químico podrían exponer un montón de casos concretos, objetos y efectos que ocurren en nuestra naturaleza y pueden ser estudiados gracias a modelos matemáticos.
Los matemáticos a lo largo de la historia han ido poco a poco construyendo la teoría, unas veces por necesidades prácticas, operativas y otras veces intentando resolver problemas sin solución ( por ejemplo el famoso teorema de Fermat manuscrito en el margen de unos apuntes) y en el camino han descubierto y construido grandes teorías, que a su vez han tenido sus aplicaciones reales en nuestras vidas.
Podemos considerar la estructura de anillo como una abstracción de las propiedades del conjunto de los enteros. Me faltaría hablaros de los ideales, quizá algún día entremos en detalles…Un buen ejemplo, que además vosotros conocéis, es el anillo de los polinomios en una variable, polinomios cuyos coeficientes son números enteros. Igual que factorizáis los números y buscáis los primos que dividen a un número, también factorizáis polinomios, porque es un anillo integro (el cero no tiene divisores) y existe una factorización , y elementos primos y división euclídea… Los matemáticos al generalizar y estudiar la estructura, están demostrando teoremas que pueden aplicarse en muy diversos casos particulares, tanto les da trabajar con números, que con funciones, que con aplicaciones continuas, aplicaciones diferenciables, series formales, matrices, movimientos, ecuaciones… Si tienen la misma estructura, verificarán las mismas propiedades y los mismos teoremas.
Y como no puedo terminar sin proponeros un reto, aquí va...
Sea X un conjunto cualquiera, dado un anillo A, definir dos operaciones de manera que el conjunto de aplicaciones de X en A sea un anillo y demostrar que lo es.
Participamos en la edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas y no dejéis de visitar a nuestro blog anfitrión: Juegos Topológicos
jueves, 30 de junio de 2011
Box World
Ahora que ya está acabado el curso, y empiezan las vacaciones, es tiempo de juegos...desde el blog de Jugando en clase os traigo este reto lógico de 100 niveles. Si pasáis del 15, por favor escribidme un comentario...
miércoles, 29 de junio de 2011
Anillos. ( Segunda parte )
Antes de poder articular un alegre “buenos días”…
-Hemos solucionado el problema para poder formar grupo con las aplicaciones de un conjunto
-¿De veras? Contadme.
- Basta considerar únicamente aplicaciones biyectivas, es decir que cada elemento se corresponda con un único elemento y viceversa, todo elemento tenga una única imagen. De esta manera no tenemos problemas al tomar la aplicación inversa.
-Muy bien chicos. Problema solucionado.
Hemos construido un grupo ( G,◦ ) , con G = Aut(X) = {Aplicaciones biyectivas de X en X} y la aplicación: GxG → G , (g,g’) → g ◦ g’ la composición de aplicaciones, que verifica las tres propiedades: asociativa, existe elemento neutro que es la aplicación identidad y para todo elemento g existe su inverso g-1 ,que es la aplicación inversa que existe por ser g biyectiva.
Este es un buen ejemplo de grupo no conmutativo, puesto que la composición de aplicaciones no verifica la propiedad conmutativa. En general no es lo mismo g ◦ g’ que g’◦ g.
Este grupo que acabáis de construir es muy importante en matemáticas, y en particular cuando el conjunto a considerar son los primeros n números naturales, X = {1,2,3,…,n}, entonces se denomina de una manera especial: grupo simétrico n-ésimo.
-Entonces los elementos del grupo serían permutaciones.
-Efectivamente... ¿cuántos elementos tendría este grupo?
-n! = n·(n-1)·(n-2)···2·1
-Muy bien, veo que hoy estáis más receptivos…
Dentro de un grupo, podemos considerar subgrupos, que serían subconjuntos del grupo, pero manteniendo la estructura, es decir tendrían el elemento neutro, y para cada elemento su inverso, además dados dos elementos del subconjunto su producto también estaría dentro del subconjunto, por ejemplo dentro del grupo simétrico tenemos los grupos diedrales, que se corresponden con las simetrías de un polígono regular de n lados (rotaciones y reflexiones especulares).
Si quieres profundizar lee este artículo, visita esta página y experimenta con Kali
Y hablando de geometría, hay un grupo llamado afín unidimensional, que tampoco es conmutativo, el conjunto está formado por pares de números reales, el primero distinto de cero.
La aplicación que le da esa estructura de grupo es la siguiente:
\times (\mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R})&\rightarrow & (\mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R}) & \\ (\left ( \lambda ,a \right ),\left ( \lambda ',a' \right ))& \rightarrow &\left ( \lambda ,a \right )*\left ( \lambda ',a' \right )\left = ( \lambda \cdot \lambda ',\lambda \cdot a'+a \right ) & \end{matrix} "\begin{matrix} (\mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R})\times (\mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R})&\rightarrow & (\mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R}) & \\ (\left ( \lambda ,a \right ),\left ( \lambda ',a' \right ))& \rightarrow &\left ( \lambda ,a \right )*\left ( \lambda ',a' \right )\left = ( \lambda \cdot \lambda ',\lambda \cdot a'+a \right ) & \end{matrix}")
¿cuál sería el elemento neutro?
-El (1,0) porque ( λ , a ) * ( 1 , 0 ) = ( λ·1 , λ·0+a ) = ( λ , a )
-Muy bien!! Y ¿cuál sería el elemento inverso de ( λ , a )?
-Tendría que verificar ( λ , a ) * ( m , b ) = ( 1 , 0 ).
Podemos resolver la ecuación
λ · m = 1, luego m =1/λ, y
λ · b + a = 0, luego b = -a/λ.
Es decir
^{-1}=(\frac{1}{\lambda },-\frac{a}{\lambda }) "(\lambda ,a)^{-1}=(\frac{1}{\lambda },-\frac{a}{\lambda })")
Claro! Por eso λ no puede ser cero!
-Perfecto chicos. Este grupo es importante porque establece los invariantes geométricos al actuar sobre un conjunto de “puntos”. Sin entrar en detalles, digamos que el primer número se utiliza para dilatar (se multiplica) y el segundo número se utiliza para trasladar (se suma).
-Otro ejemplo de grupo no conmutativo es el grupo general lineal cuyo conjunto es el de matrices cuadradas de orden n de números reales. ¿Recordáis las matrices?
-Sí, las “cajas” de números, pero solo operamos con las de orden dos y tres.
-Bueno, se puede generalizar hasta el orden que queráis, pero si os resulta más fácil, considerar las de orden dos. Tomemos como aplicación para nuestro grupo, la multiplicación de matrices, que es asociativa. ¿Cuál sería el elemento neutro?
-La matriz identidad, esa que tiene unos en la diagonal y el resto ceros.
-Bien, y… ¿hay elemento inverso?
-Solo tenían inversa las matrices con determinante distinto de cero.
-Pues entonces… ¿cúal sería nuestro conjunto?
-Las matrices cuadradas con determinante distinto de cero.
-Estupendo, veo que vais entendiendo la estructura del grupo… Dentro hay varios subgrupos importantes. Sería un estupendo trabajo buscar algún subgrupo, por ejemplo ¿qué pasa si tomamos matrices cuyo determinante sea la unidad, formarían subgrupo?, ¿y si tomamos matrices, que verifiquen que ellas por sus traspuestas sean la matriz identidad?
-Un último ejemplo de grupo, esta vez conmutativo, y uno de mis preferidos, es el grupo formado por el conjunto de las clases de restos módulo n.
-Eso si que no nos suena de nada…
Veamos…
Consideremos el conjunto de los números enteros. Y elijamos un n particular, venga, un número cualquiera…
-El cinco
-Vale, aunque ya sabéis que podemos fijar cualquiera, en este caso n será cinco. Vamos a formar un conjunto de solo cinco elementos, pero vamos a tener en cuenta a todos los números enteros. ¿Cómo lo hacemos?
-A ver si lo he entendido..., ¿cogemos todos los enteros y los agrupamos en cinco clases?
-Eso es…¿alguna idea?
-Puedo cambiar n?
-Bueno
-Pues n=2
-Y ¿por qué cambias a dos?
-Porque podemos hacer dos clases: pares e impares.
-Estupendo, no esta mal para empezar. ¿Dónde colocamos el cero?
-Pues no sé… venga pues n=3, pares, impares y el cero.
-Eso me gusta menos… ¿Os acordáis de la expresión algebraica que usábamos para los pares y los impares?
-Si, si…2x y 2x+1, donde x podía ser cualquier número.
-Bien, pues ¿que encaja mejor con el cero?
- 2·0=0, con los pares?
- Bueno, es la mejor opción. Realmente lo que hacemos para saber si un número es par es dividirlo entre dos y si la división es exacta resulta que es par, en caso contrario sería impar. Nuestro caso para n=2 está resuelto, pero ¿y si n = 3? ¿qué hacemos?
…Silencio…
-Veamos, si dividimos cualquier número entre 3, ¿qué restos podemos obtener?
-0 , si la división es exacta, 1 y 2
-Y si dividimos por 5
-0, 1, 2, 3 y 4
- Ya lo tenéis, esas serán las clases de restos módulo 5. Y tenemos en cuenta a todos los números! Ahora necesitamos una operación para el grupo ¿cuál?
-La suma
-Vale, pero podemos definir una suma +n "especial" : a +n b = resto de dividir a+b por n.
donde n en nuestro caso particular es cinco. Perfecto, la suma es asociativa. ¿cuál sería el elemento neutro?
-el cero
-¿Qué números entrarían dentro de esta clase?, es decir ¿qué números al dividir por cinco tienen de resto cero?
-5, 10, 15, 20…todos los múltiplos de cinco
-Perfecto, todos esos números estarían en la clase del elemento neutro. Muy bien. Y ¿cuál sería el inverso del 1?
-El -1?
-Estamos en un conjunto donde solo hay cinco elementos {0,1,2,3,4}, y hemos clasificado a todos los números, es decir el -1 estaría en una de estas clases ¿en cuál?
- Pero -1 es menor que cinco y no podemos dividirlo…
-Vale, pero al -1 podéis sumarle cualquier múltiplo de cinco, porque sería como sumarle cero...
-Entonces -1 estaría en la misma clase que el 4
-No solo eso, sino que el 4 sería el inverso del 1, porque 1+4=5=0
-Ahh…ya lo he entendido!! Entonces el inverso del 2 sería el 3, y el inverso del 3 el 2, y el inverso del 4 el 1…
-Eso es, todo elemento tiene su inverso…¡Tenemos grupo!
Creo que ya estáis preparados para conocer a su hermano mayor: el Anillo
Pero eso será otro día pequeñuelos…
Esta entrada también participa en la edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas donde ya podéis visitar algunos estupendos post del carnaval, y a nuestro anfitrión que está haciendo un estupendo trabajo: Juegos Topológicos
-Hemos solucionado el problema para poder formar grupo con las aplicaciones de un conjunto
-¿De veras? Contadme.
- Basta considerar únicamente aplicaciones biyectivas, es decir que cada elemento se corresponda con un único elemento y viceversa, todo elemento tenga una única imagen. De esta manera no tenemos problemas al tomar la aplicación inversa.
-Muy bien chicos. Problema solucionado.
Hemos construido un grupo ( G,◦ ) , con G = Aut(X) = {Aplicaciones biyectivas de X en X} y la aplicación: GxG → G , (g,g’) → g ◦ g’ la composición de aplicaciones, que verifica las tres propiedades: asociativa, existe elemento neutro que es la aplicación identidad y para todo elemento g existe su inverso g-1 ,que es la aplicación inversa que existe por ser g biyectiva.
Este es un buen ejemplo de grupo no conmutativo, puesto que la composición de aplicaciones no verifica la propiedad conmutativa. En general no es lo mismo g ◦ g’ que g’◦ g.
Este grupo que acabáis de construir es muy importante en matemáticas, y en particular cuando el conjunto a considerar son los primeros n números naturales, X = {1,2,3,…,n}, entonces se denomina de una manera especial: grupo simétrico n-ésimo.
-Entonces los elementos del grupo serían permutaciones.
-Efectivamente... ¿cuántos elementos tendría este grupo?
-n! = n·(n-1)·(n-2)···2·1
-Muy bien, veo que hoy estáis más receptivos…
Dentro de un grupo, podemos considerar subgrupos, que serían subconjuntos del grupo, pero manteniendo la estructura, es decir tendrían el elemento neutro, y para cada elemento su inverso, además dados dos elementos del subconjunto su producto también estaría dentro del subconjunto, por ejemplo dentro del grupo simétrico tenemos los grupos diedrales, que se corresponden con las simetrías de un polígono regular de n lados (rotaciones y reflexiones especulares).
Y hablando de geometría, hay un grupo llamado afín unidimensional, que tampoco es conmutativo, el conjunto está formado por pares de números reales, el primero distinto de cero.
La aplicación que le da esa estructura de grupo es la siguiente:
¿cuál sería el elemento neutro?
-El (1,0) porque ( λ , a ) * ( 1 , 0 ) = ( λ·1 , λ·0+a ) = ( λ , a )
-Muy bien!! Y ¿cuál sería el elemento inverso de ( λ , a )?
-Tendría que verificar ( λ , a ) * ( m , b ) = ( 1 , 0 ).
Podemos resolver la ecuación
λ · m = 1, luego m =1/λ, y
λ · b + a = 0, luego b = -a/λ.
Es decir
Claro! Por eso λ no puede ser cero!
-Perfecto chicos. Este grupo es importante porque establece los invariantes geométricos al actuar sobre un conjunto de “puntos”. Sin entrar en detalles, digamos que el primer número se utiliza para dilatar (se multiplica) y el segundo número se utiliza para trasladar (se suma).
-Otro ejemplo de grupo no conmutativo es el grupo general lineal cuyo conjunto es el de matrices cuadradas de orden n de números reales. ¿Recordáis las matrices?
-Sí, las “cajas” de números, pero solo operamos con las de orden dos y tres.
-Bueno, se puede generalizar hasta el orden que queráis, pero si os resulta más fácil, considerar las de orden dos. Tomemos como aplicación para nuestro grupo, la multiplicación de matrices, que es asociativa. ¿Cuál sería el elemento neutro?
-La matriz identidad, esa que tiene unos en la diagonal y el resto ceros.
-Bien, y… ¿hay elemento inverso?
-Solo tenían inversa las matrices con determinante distinto de cero.
-Pues entonces… ¿cúal sería nuestro conjunto?
-Las matrices cuadradas con determinante distinto de cero.
-Estupendo, veo que vais entendiendo la estructura del grupo… Dentro hay varios subgrupos importantes. Sería un estupendo trabajo buscar algún subgrupo, por ejemplo ¿qué pasa si tomamos matrices cuyo determinante sea la unidad, formarían subgrupo?, ¿y si tomamos matrices, que verifiquen que ellas por sus traspuestas sean la matriz identidad?
-Un último ejemplo de grupo, esta vez conmutativo, y uno de mis preferidos, es el grupo formado por el conjunto de las clases de restos módulo n.
-Eso si que no nos suena de nada…
Veamos…
Consideremos el conjunto de los números enteros. Y elijamos un n particular, venga, un número cualquiera…
-El cinco
-Vale, aunque ya sabéis que podemos fijar cualquiera, en este caso n será cinco. Vamos a formar un conjunto de solo cinco elementos, pero vamos a tener en cuenta a todos los números enteros. ¿Cómo lo hacemos?
-A ver si lo he entendido..., ¿cogemos todos los enteros y los agrupamos en cinco clases?
-Eso es…¿alguna idea?
-Puedo cambiar n?
-Bueno
-Pues n=2
-Y ¿por qué cambias a dos?
-Porque podemos hacer dos clases: pares e impares.
-Estupendo, no esta mal para empezar. ¿Dónde colocamos el cero?
-Pues no sé… venga pues n=3, pares, impares y el cero.
-Eso me gusta menos… ¿Os acordáis de la expresión algebraica que usábamos para los pares y los impares?
-Si, si…2x y 2x+1, donde x podía ser cualquier número.
-Bien, pues ¿que encaja mejor con el cero?
- 2·0=0, con los pares?
- Bueno, es la mejor opción. Realmente lo que hacemos para saber si un número es par es dividirlo entre dos y si la división es exacta resulta que es par, en caso contrario sería impar. Nuestro caso para n=2 está resuelto, pero ¿y si n = 3? ¿qué hacemos?
…Silencio…
-Veamos, si dividimos cualquier número entre 3, ¿qué restos podemos obtener?
-0 , si la división es exacta, 1 y 2
-Y si dividimos por 5
-0, 1, 2, 3 y 4
- Ya lo tenéis, esas serán las clases de restos módulo 5. Y tenemos en cuenta a todos los números! Ahora necesitamos una operación para el grupo ¿cuál?
-La suma
-Vale, pero podemos definir una suma +n "especial" : a +n b = resto de dividir a+b por n.
donde n en nuestro caso particular es cinco. Perfecto, la suma es asociativa. ¿cuál sería el elemento neutro?
-el cero
-¿Qué números entrarían dentro de esta clase?, es decir ¿qué números al dividir por cinco tienen de resto cero?
-5, 10, 15, 20…todos los múltiplos de cinco
-Perfecto, todos esos números estarían en la clase del elemento neutro. Muy bien. Y ¿cuál sería el inverso del 1?
-El -1?
-Estamos en un conjunto donde solo hay cinco elementos {0,1,2,3,4}, y hemos clasificado a todos los números, es decir el -1 estaría en una de estas clases ¿en cuál?
- Pero -1 es menor que cinco y no podemos dividirlo…
-Vale, pero al -1 podéis sumarle cualquier múltiplo de cinco, porque sería como sumarle cero...
-Entonces -1 estaría en la misma clase que el 4
-No solo eso, sino que el 4 sería el inverso del 1, porque 1+4=5=0
-Ahh…ya lo he entendido!! Entonces el inverso del 2 sería el 3, y el inverso del 3 el 2, y el inverso del 4 el 1…
-Eso es, todo elemento tiene su inverso…¡Tenemos grupo!
Creo que ya estáis preparados para conocer a su hermano mayor: el Anillo
Pero eso será otro día pequeñuelos…
Esta entrada también participa en la edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas donde ya podéis visitar algunos estupendos post del carnaval, y a nuestro anfitrión que está haciendo un estupendo trabajo: Juegos Topológicos
martes, 28 de junio de 2011
Anillos. ( Primera parte )
¿Qué es un anillo?, si asaltas con esta pregunta en clase, todos los alumnos coinciden más o menos en sus respuestas:
Una sortija para colocar en el dedo..., un aro que representa el compromiso en algunas religiones, como el sacramento del matrimonio... una formación celeste que circunda determinados planetas… Incluso alguno le echa imaginación; La sección de un cilindro cortado por dos planos paralelos entre sí y perpendiculares al eje del cilindro.
Pues no. No van por ahí los tiros.
Un anillo en matemáticas es el nombre de una estructura...
Pero antes tenemos que hablar de su hermano pequeño: el grupo.
-¿Qué diríais vosotros que es un grupo?
-Un conjunto de cosas o de personas...
-Entonces... ¿Qué diferencia hay entre un grupo y un conjunto?
...breve silencio…
-Quizá se utiliza grupo, cuando es un conjunto de personas o cosas con alguna relación entre ellas.
Bueno vamos bien…
En matemáticas un grupo se forma dentro de un conjunto donde definimos una aplicación en la que a cada par de elementos del conjunto le hacemos corresponder otro elemento del conjunto. Esto lo denotamos:
Y además esta aplicación verifica tres cosas:
1. Es asociativa.
2. Posee elemento neutro.
3. Cada elemento del grupo tiene su inverso.
Fijaos que el elemento neutro es único.
Una pista: supongamos que hay dos diferentes…e y e’.
Por un lado e+e’=e por ser e’ elemento neutro, pero por otro lado e+e’=e’ por ser e elemento neutro, luego e=e’.
Bueno…
- ¿Habéis entendido algo?
Todos copiando como locos, y nadie responde.
Veamos...
-¿Qué es una aplicación?
...Silencio sepulcral...
-¿Y una función?
Esto a todos les suena más.
-Es cuando a un número le hacemos corresponder otro: y = f(x).
-Bueno, no es del todo exacto. ¿Alguno puede hacer una representación gráfica de una función?
Sale un valiente a la pizarra y dibuja unos ejes de coordenadas y una recta, nos explica que el eje horizontal representa los números reales, el conjunto de partida, y el eje vertical también son los números reales, el conjunto de llegada, y que para cada número real x hay un número real y=f(x).
-Perfecto, pero si dibujo una circunferencia…¿qué es lo que falla?
Todos se dan cuenta de que si tomo un número en el eje horizontal, tengo dos imágenes ¿cuál tomamos?
-Eso no es una función.
-No, no lo es. Entonces ¿qué es una función?
-A cada punto del conjunto inicial le hacemos corresponder un único punto del conjunto final.
-Muy bien chicos. Se llama función cuando los conjuntos son numéricos, por ejemplo la recta que está pintada en la pizarra es una función real de variable real. Si el conjunto no es numérico se suele utilizar la palabra aplicación. Por ejemplo:
Sí es aplicación
Sí es aplicación
NO es aplicación
NO es aplicación
-Consideremos un conjunto y veamos si podríamos formar un grupo con él. ¿Alguna sugerencia?
-Los números naturales.
-¿Y la aplicación?
-La suma.
-¡Qué poca imaginación!...pero veamos… ¿Forman grupo?
Es asociativa…, tiene elemento neutro ( suponiendo que el cero está contenido en los números naturales), ¿Todo elemento tiene inverso?...pues no. No nos sirve.
-Entonces con los números enteros.
-¡Muy bien! Los números enteros con la suma, verifican las tres propiedades.
Además este grupo verifica la propiedad conmutativa, pues para todo par de números enteros a y b se verifica a+b=b+a. A estos grupos se les llama grupos conmutativos o abelianos, pero hay otros grupos que no son conmutativos. Busquemos un ejemplo. ¿Alguna idea?
-No podemos coger como conjuntos los números racionales, ni los reales, porque todos verifican la propiedad conmutativa...
- Pues pensad en conjuntos de otras cosas, que no sean números.
…Silencio sepulcral…
-Hemos hablado de aplicaciones… y si tomamos, por ejemplo, aplicaciones en vez de números?
-¿Aplicaciones?... pero ¿eso sirve?
-Bueno..., intentémoslo a ver que sale. Imaginemos un conjunto de cosas, las que queráis y consideremos todas las posibles aplicaciones entre ese conjunto y él mismo:
-¿Qué operación podemos hacer con las aplicaciones?
-Sumarlas
-Tened en cuenta que no estamos trabajando con conjuntos numéricos, por tanto no tiene sentido la suma.
-Ya lo tengo!...la composición de funciones!
-Fenomenal!, pero no hablamos de funciones ¿te acuerdas?...Dadas dos aplicaciones, llamémoslas g y g’, la composición es otra aplicación, es hacer una y seguida la otra... así que...nos sirve.
-Veamos si verifican las tres propiedades:
Es asociativa, la demostración os la dejo a vosotros…
Tiene elemento neutro: la aplicación identidad que asocia a cada elemento el mismo.
¿Existe la aplicación inversa? Sería hacer el recorrido empezando por el final...aquí tenemos un problemilla…¿alguien me dice cuál es?
-En el ejemplo anterior si hacemos el camino al contrario, la manzana tendría dos imágenes y las cerezas no tendrían imagen, no sería aplicación!!
-Bien, entonces...¿cómo lo arreglamos?
Os dejo pensarlo tranquilamente y continuamos mañana…
Con esta entrada participo en la edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas que tiene por anfitrión un estupendo blog: Juegos Topológicos
lunes, 20 de junio de 2011
Fibi está triste
Hola pequeños epsilones, hace tiempo que no os propongo un reto...Aquí os traigo uno:
Mi nombre es Fibi, soy una alegre letra equis, pero últimamente estoy algo decaída, hace tiempo que desapareció mi querido número cinco, con el que llegué a formar monomio y a mantener una estrecha amistad.
Añoro los tiempos en los que era la gran incógnita de una estupenda ecuación de segundo grado.Compartía parcela con dos vecinos extraordinarios, otra letra equis que había conseguido subir de grado y nunca se quitaba su elegante sombrero por donde asomaba un pequeño número dos, y la señora Matilde, que aunque era un número muy independiente también era especialmente amable, se llevaba bien con todo el mundo y tenía grandes amistades con pares y con impares.
El muro estaba siempre vigilado por el señor Vicente, un estirado y serio símbolo igual, que nunca abandonaba su sitio. Al otro lado del muro estaba un silencioso y tímido número, el cero, del que nuca supe su nombre. Era tan especial que siempre estaba solo y cuando alguno de nosotros pasaba el muro, él desaparecía.
Un día pasó algo extraordinario de lo que no tengo explicación, la verdad es que me quedé dormida y cuando desperté, todos se habían ido, incluso mi compañero, el número cinco que nunca se separaba de mí.
Miré por encima del muro y allí estaba, algo cambiado, pues siempre que pasamos el muro, el señor Vicente nos quita nuestro signo y nos devuelve el contrario. Es una rutina obligada al pasar al otro lado, y el señor Vicente, el símbolo igual, es muy riguroso con esta norma, y si no lo hacemos, no nos deja pasar.
Más alejada estaba la señora Matilde, aunque ella formaba parte de un grupo muy peculiar, al que yo no había visto antes, le acompañaba un hermoso número cuatro y delante de ellos un cuadrado perfecto. La señora Matilde y sus acompañantes estaban atrapados dentro de una raíz. ¡Pobres!...
Yo ya tuve la experiencia de pasar por una raíz. ¡Son insaciables! Hace ya tiempo, cuando conseguí subir de orden y adquirir el ansiado sombrero con el pequeño número dos, cosa nada fácil, pues no abundan las letras equis que quieran multiplicarse conmigo, entonces llegó una raíz y ¡zas! en un plis-plas me quitó el sombrerito y desapareció.
Ahora, cuando veo alguna, salgo corriendo, porque si encima no tienes sombrerito se quedan contigo para siempre... o hasta encontrar otra letra equis con una raíz a cuestas, que quiera multiplicarse contigo, y esto es todavía más difícil.
Pues bien, allí estaban todos, sentados encima de una línea y debajo, un espectacular número dos, grande y fuerte, que parecía que sostuviera él solo a todos los demás.
Yo, como me sentía tan sola y parecía que al otro lado lo estaban pasando en grande, ni corta ni perezosa, le cambié el signo al señor Vicente y pasé al otro lado. Al mirar atrás, comprobé que aparecía el misterioso número cero ocupando el otro lado del muro. Corrí a reunirme con mi compañero, me costó saltar hasta la línea y una vez arriba, mi querido número cinco no quería ni acercarse a mí.
-¿Qué haces? ¡Tienes que irte al otro lado!
-Me quedé dormida. Lo siento ¿No quieres que sigamos juntos?- le dije
-Ya no podemos. Mira quién está junto a ti.
Yo volví la vista y allí, a mi lado, había aparecido de repente un número dos.
-Hola –le dije-¡Qué sorpresa!
-Creo que andas despistada. No deberías estar aquí. Vuelve ahora mismo al otro lado del muro, este no es lugar para ti. ¿No te das cuenta de que han resuelto la ecuación?...Nos vamos todos y tú no puedes venir.
A mí me hubiera gustado seguir allí, pero estaba claro que no era bien recibida, así que salte de la línea, el número dos, que había aparecido pegado a mi, desapareció enseguida y volví al otro lado del muro dejando el signo menos al señor Vicente, que pareció no inmutarse.
Ni siquiera pude hablar una palabra con el número cero, que también desapareció... la verdad es que no hay manera de pillarlo.
Me asomé a ver lo que ocurría en el otro lado y enseguida todo se transformó, la línea, la raíz, mi querido cinco, el espectacular número dos…¡todo desapareció! y en su lugar aparecieron dos números. A uno de ellos pude verle bien, era un precioso tres.
¿Cuál es el otro número que aparece con el tres?¿Puedes ayudar a Fibi y escribir la ecuación de segundo grado donde aparezca con su querido número cinco? ¿Qué número es Matilde?
Mi nombre es Fibi, soy una alegre letra equis, pero últimamente estoy algo decaída, hace tiempo que desapareció mi querido número cinco, con el que llegué a formar monomio y a mantener una estrecha amistad. Añoro los tiempos en los que era la gran incógnita de una estupenda ecuación de segundo grado.Compartía parcela con dos vecinos extraordinarios, otra letra equis que había conseguido subir de grado y nunca se quitaba su elegante sombrero por donde asomaba un pequeño número dos, y la señora Matilde, que aunque era un número muy independiente también era especialmente amable, se llevaba bien con todo el mundo y tenía grandes amistades con pares y con impares.
El muro estaba siempre vigilado por el señor Vicente, un estirado y serio símbolo igual, que nunca abandonaba su sitio. Al otro lado del muro estaba un silencioso y tímido número, el cero, del que nuca supe su nombre. Era tan especial que siempre estaba solo y cuando alguno de nosotros pasaba el muro, él desaparecía.Un día pasó algo extraordinario de lo que no tengo explicación, la verdad es que me quedé dormida y cuando desperté, todos se habían ido, incluso mi compañero, el número cinco que nunca se separaba de mí.
Miré por encima del muro y allí estaba, algo cambiado, pues siempre que pasamos el muro, el señor Vicente nos quita nuestro signo y nos devuelve el contrario. Es una rutina obligada al pasar al otro lado, y el señor Vicente, el símbolo igual, es muy riguroso con esta norma, y si no lo hacemos, no nos deja pasar.
Más alejada estaba la señora Matilde, aunque ella formaba parte de un grupo muy peculiar, al que yo no había visto antes, le acompañaba un hermoso número cuatro y delante de ellos un cuadrado perfecto. La señora Matilde y sus acompañantes estaban atrapados dentro de una raíz. ¡Pobres!...
Yo ya tuve la experiencia de pasar por una raíz. ¡Son insaciables! Hace ya tiempo, cuando conseguí subir de orden y adquirir el ansiado sombrero con el pequeño número dos, cosa nada fácil, pues no abundan las letras equis que quieran multiplicarse conmigo, entonces llegó una raíz y ¡zas! en un plis-plas me quitó el sombrerito y desapareció.
Ahora, cuando veo alguna, salgo corriendo, porque si encima no tienes sombrerito se quedan contigo para siempre... o hasta encontrar otra letra equis con una raíz a cuestas, que quiera multiplicarse contigo, y esto es todavía más difícil.
Pues bien, allí estaban todos, sentados encima de una línea y debajo, un espectacular número dos, grande y fuerte, que parecía que sostuviera él solo a todos los demás.
Yo, como me sentía tan sola y parecía que al otro lado lo estaban pasando en grande, ni corta ni perezosa, le cambié el signo al señor Vicente y pasé al otro lado. Al mirar atrás, comprobé que aparecía el misterioso número cero ocupando el otro lado del muro. Corrí a reunirme con mi compañero, me costó saltar hasta la línea y una vez arriba, mi querido número cinco no quería ni acercarse a mí.
-¿Qué haces? ¡Tienes que irte al otro lado!
-Me quedé dormida. Lo siento ¿No quieres que sigamos juntos?- le dije
-Ya no podemos. Mira quién está junto a ti.
Yo volví la vista y allí, a mi lado, había aparecido de repente un número dos.
-Hola –le dije-¡Qué sorpresa!
-Creo que andas despistada. No deberías estar aquí. Vuelve ahora mismo al otro lado del muro, este no es lugar para ti. ¿No te das cuenta de que han resuelto la ecuación?...Nos vamos todos y tú no puedes venir.
A mí me hubiera gustado seguir allí, pero estaba claro que no era bien recibida, así que salte de la línea, el número dos, que había aparecido pegado a mi, desapareció enseguida y volví al otro lado del muro dejando el signo menos al señor Vicente, que pareció no inmutarse.
Ni siquiera pude hablar una palabra con el número cero, que también desapareció... la verdad es que no hay manera de pillarlo.
Me asomé a ver lo que ocurría en el otro lado y enseguida todo se transformó, la línea, la raíz, mi querido cinco, el espectacular número dos…¡todo desapareció! y en su lugar aparecieron dos números. A uno de ellos pude verle bien, era un precioso tres.
¿Cuál es el otro número que aparece con el tres?¿Puedes ayudar a Fibi y escribir la ecuación de segundo grado donde aparezca con su querido número cinco? ¿Qué número es Matilde?
domingo, 15 de mayo de 2011
Dido y la piel de un buey
A Marta y a María no les gustan las mates. Prefieren reunirse y contarse cuentos de princesas, soñar con mundos fantásticos y con la magia…
Este fin de semana, aprovechando el buen tiempo han ido a visitar el pueblo de su madre, mi hermana.
Las he encontrado sentadas en la mesa del jardín, sufriendo con un problema que su maldito profesor de mates les ha puesto para fastidiarles el finde…
Yo no sé muchas matemáticas, pero no me gusta verlas tristes, así que me he acercado para animarlas.
El problema en cuestión dice así:
Halla el triángulo de área máxima, dado uno de sus lados y el perímetro.
Entonces he recordado una leyenda, que a mí me contaron hace ya muchos, muchos años….
-Sí, Venga! Cuéntanos la historia!! Por fi…
Marta y María cambian sus caritas y sonríen, se sientan cómodamente y les cuento…
Érase una vez un legendario país, llamado Tiro, que estaba gobernado por el anciano rey Muto. El rey tenía una hija de prodigiosa belleza, Dido, que se casó con el hombre más rico e influyente de Tiro.
Pigmalión, hijo del rey y hermano de Dido, fue coronado a la muerte de su padre, pero era tan ambicioso que mató a su cuñado para apoderarse de sus riquezas. Dido, horrorizada, decidió abandonar Tiro con unos cuantos hombres descontentos y otras tantas jóvenes consagradas a Afrodita que ellos llevaron consigo para desposarlas. Huyeron en varios bajeles cargados con las riquezas que Dido pudo salvar y navegaron hacia el Sur.
Llegaron a las costas de África, donde vivían los getulos, una tribu de libios cuyo rey era Jarbas. Pidió hospitalidad y un trozo de tierra para instalarse en ella con su séquito. Jarbas le dijo que le daba tanta tierra como la que pudiera abarcar una piel de buey, satisfecho por un trato que adivinaba muy ventajoso. Pero pasó que Dido tomo la piel del buey y la cortó en finísimas tiras. Las anudó e hizo un semicírculo desde un punto a otro de la costa.
En esta tierra, delimitada por la piel del buey, Dido fundó Cartago. Era la mayor porción de tierra abarcable con la piel del buey. Dido probó así su inteligencia, resolviendo nada más y nada menos que una forma del problema isoperimétrico.
-Qué palabreja!.. Isoperimétrico!... ¿qué es eso?- dice Marta
-Pues por lo que yo sé, se trata de encontrar de entre todas las curvas cerradas en el plano con el mismo perímetro, aquella que tiene la mayor superficie.
-Está claro! –Dice María- es la circunferencia!
- Muy bien María, eso es; por eso en muchas ciudades que fueron amuralladas, la muralla tiene forma circular.
-Me gustó la leyenda Tío, pero nuestro problema sigue sin resolverse-dice Marta
-Veamos, Marta, un lado del triángulo es fijo. Bien pintémoslo.
-Los otros dos lados no sabemos cuánto miden, pero… ¿qué otro dato tenemos?
-El perímetro-dice María- por tanto, la suma es fija.
-Muy bien, María.
-Tengo una idea- dice Marta
Marta cogió una cuerda que andaba por allí, dos chinchetas y clavó sus extremos en la pobre mesa de madera.
-Cómo se entere tu madre…- le dije
-No te preocupes, si a esta vieja mesa de madera ya le hemos hecho muchas trastadas…
Y con un lápiz, tensó la cuerda.
-Ahora tenemos dos lados, y si muevo el lápiz los lados cambian, pero su suma seguirá fija, porque es la cuerda.
-Fenomenal Marta.
Entonces Marta movió el lápiz y dibujo una curva ¿sabéis cual?....sí, una elipse.
-Ya lo tengo!!- dijo María- de todos los triángulos, el de mayor área será el que tenga más altura.
En efecto, mis preciosas sobrinas encontraron la solución, terminaron sus deberes y se fueron alegremente a jugar.
Saltaron, brincaron, rieron y soñaron con ser las fundadoras de una preciosa ciudad llamada Cartago.
Con esta entrada participamos en la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog seispalabras de Clara Grima
Este fin de semana, aprovechando el buen tiempo han ido a visitar el pueblo de su madre, mi hermana.
Las he encontrado sentadas en la mesa del jardín, sufriendo con un problema que su maldito profesor de mates les ha puesto para fastidiarles el finde…
Yo no sé muchas matemáticas, pero no me gusta verlas tristes, así que me he acercado para animarlas.
El problema en cuestión dice así:
Halla el triángulo de área máxima, dado uno de sus lados y el perímetro.
Entonces he recordado una leyenda, que a mí me contaron hace ya muchos, muchos años….
-Sí, Venga! Cuéntanos la historia!! Por fi…
Marta y María cambian sus caritas y sonríen, se sientan cómodamente y les cuento…
Érase una vez un legendario país, llamado Tiro, que estaba gobernado por el anciano rey Muto. El rey tenía una hija de prodigiosa belleza, Dido, que se casó con el hombre más rico e influyente de Tiro.
Pigmalión, hijo del rey y hermano de Dido, fue coronado a la muerte de su padre, pero era tan ambicioso que mató a su cuñado para apoderarse de sus riquezas. Dido, horrorizada, decidió abandonar Tiro con unos cuantos hombres descontentos y otras tantas jóvenes consagradas a Afrodita que ellos llevaron consigo para desposarlas. Huyeron en varios bajeles cargados con las riquezas que Dido pudo salvar y navegaron hacia el Sur.
Llegaron a las costas de África, donde vivían los getulos, una tribu de libios cuyo rey era Jarbas. Pidió hospitalidad y un trozo de tierra para instalarse en ella con su séquito. Jarbas le dijo que le daba tanta tierra como la que pudiera abarcar una piel de buey, satisfecho por un trato que adivinaba muy ventajoso. Pero pasó que Dido tomo la piel del buey y la cortó en finísimas tiras. Las anudó e hizo un semicírculo desde un punto a otro de la costa.
En esta tierra, delimitada por la piel del buey, Dido fundó Cartago. Era la mayor porción de tierra abarcable con la piel del buey. Dido probó así su inteligencia, resolviendo nada más y nada menos que una forma del problema isoperimétrico.
-Qué palabreja!.. Isoperimétrico!... ¿qué es eso?- dice Marta
-Pues por lo que yo sé, se trata de encontrar de entre todas las curvas cerradas en el plano con el mismo perímetro, aquella que tiene la mayor superficie.
-Está claro! –Dice María- es la circunferencia!
- Muy bien María, eso es; por eso en muchas ciudades que fueron amuralladas, la muralla tiene forma circular.
-Me gustó la leyenda Tío, pero nuestro problema sigue sin resolverse-dice Marta
-Veamos, Marta, un lado del triángulo es fijo. Bien pintémoslo.
-Los otros dos lados no sabemos cuánto miden, pero… ¿qué otro dato tenemos?
-El perímetro-dice María- por tanto, la suma es fija.
-Muy bien, María.
-Tengo una idea- dice Marta
Marta cogió una cuerda que andaba por allí, dos chinchetas y clavó sus extremos en la pobre mesa de madera.
-Cómo se entere tu madre…- le dije
-No te preocupes, si a esta vieja mesa de madera ya le hemos hecho muchas trastadas…
Y con un lápiz, tensó la cuerda.
-Ahora tenemos dos lados, y si muevo el lápiz los lados cambian, pero su suma seguirá fija, porque es la cuerda.
-Fenomenal Marta.
Entonces Marta movió el lápiz y dibujo una curva ¿sabéis cual?....sí, una elipse.
-Ya lo tengo!!- dijo María- de todos los triángulos, el de mayor área será el que tenga más altura.
En efecto, mis preciosas sobrinas encontraron la solución, terminaron sus deberes y se fueron alegremente a jugar.
Saltaron, brincaron, rieron y soñaron con ser las fundadoras de una preciosa ciudad llamada Cartago.
Con esta entrada participamos en la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog seispalabras de Clara Grimalunes, 9 de mayo de 2011
martes, 26 de abril de 2011
Charadas
Seguro que muchos de vosotros no conoce el significado de charada.
Según la R.A.E.: "Acertijo en que se trata de adivinar una palabra, haciendo una indicación sobre su significado y el de las palabras que resultan tomando una o varias sílabas de aquella."
Hoy, os propongo estas tres charadas,
Mi primera asiente a todo el mundo.
Mi segunda es la negación total.
Estoy en todo lo humano,
para bien y para mal.
Mi primera negación,
mi segunda consonante,
un artículo la tercera,
y el todo muy interesante.
Mi primera son tus ojos,
tus ojos son mi segunda,
Mi todo tus ojos son,
acierta esta barahúnda.
Venga! a ver quién acierta las tres, ( la última tiene tela...)
CURIOSIDADES
Esta tarde me he encontrado con este artículo sobre el español y me ha parecido interesante, el enlace os lo dejo al final.
| Lunes, 25 de Abril de 2011 |
Juan Morales Agüero Entre los matices que distinguen a la lengua española figuran en un sitio relevante las curiosidades. A riesgo de ser tildado de chovinista, sospecho que ninguno otro registro idiomático exhibe tantas. Pongo de muestra un caso de acentuación. Se trata de una oración en la cual todas sus palabras -nueve en total- llevan tilde. Ahí les va: «Tomás pidió públicamente perdón, disculpándose después muchísimo más íntimamente». A lo mejor una construcción forzada, pero no deja de ser interesante. Y disfruten este: La palabra oía tiene tres sílabas en tres letras. En aristocrático, cada letra aparece dos veces. El término arte es masculino en singular y femenino en plural. En la palabra barrabrava, una letra aparece una sola vez, otra aparece dos veces, otra tres veces y la cuarta cuatro veces. En el término centrifugados todas las letras son diferentes y ninguna se repite. El vocablo cinco tiene a su vez cinco letras, coincidencia que no se registra en ningún otro número. El término corrección tiene dos letras dobles... Y este otro recital: Las palabras ecuatorianos y aeronáuticos poseen las mismas letras, pero en diferente orden. Con 23 letras, se ha establecido que la palabraelectroencefalografista es la más extensa de todas las aprobadas por la Real Academia Española de la Lengua. El término estuve contiene cuatro letras consecutivas por orden alfabético: stuv. Con nueve letras, menstrual es el vocablo más largo con solo dos sílabas. Mil es el único número que no tiene ni o ni e. La palabra pedigüeñería tiene los cuatro firuletes que un término puede tener en nuestro idioma: la virgulilla de la ñ, la diéresis sobre la ü, la tilde del acento y el punto sobre la i. El vocablo reconocer se lee lo mismo de izquierda a derecha que viceversa. La palabra euforia tiene las cinco vocales y solo dos consonantes... Una pincelada en ocasión del Día del Idioma Español, que se celebró el pasado día 23 de abril. |
sábado, 23 de abril de 2011
EL MAPA DEL HAMBRE
LA ONU PRESENTA EL MAPA DEL HAMBRE 2011
(Haz click sobre el mapa para ampliarlo)
Los datos del Programa Mundial de Alimentos (PMA) contabilizan más de 1.000 millones de personas desnutridas en todo el mundo, "una cifra equivalente a la suma de la población de América del Norte y de Europa", según los datos relevados en esta infografía.
La investigación establece seis categorías para clasificar la desnutrición mundial. Por colores, el celeste representa a las naciones con un 5% -o menos- de población desnutrida. En esta categoría aparecen, entre otros, los países europeos, Rusia, los Estados Unidos, Japón y Canadá; pero también se ubican países latinoamericanos como México, Costa Rica, Chile, Uruguay y Argentina. Con menos del 5% de su población desnutrida, además, se registran algunos países africanos y árabes como Marruecos Argelia, Libia, Egipto, Siria, Arabia Saudita y el persa Irán. Del África subsahariana sólo aparecen Sudáfrica y Gabón.
El hambre, para las naciones en desarrollo, representa un costo de más 450 mil millones de dólares al año. En este punto es donde entra en acción el PMA: "Durante las emergencias llevamos alimentos a donde más se necesite para salvar las vidas de las víctimas de desastres naturales, de las guerras o conflictos civiles. Una vez que las emergencias han pasado, usamos los alimentos para ayudar a las comunidades a reconstruir sus vidas destrozadas".
Según detalla el PMA en su sitio web, una de cada seis personas en el mundo no tiene alimentos suficientes para estar saludable y llevar una vida activa. "El hambre y la desnutrición son consideradas a nivel mundial el principal riesgo a la salud, más que el SIDA, la malaria y la tuberculosis juntas".
La mayoría de los países latinoamericanos están calificados en las primeras tres categorías de este mapa. El caso más preocupante es el de Haití que registra una desnutrición "muy alta", mayor al 35 por ciento. República Dominicana y Bolivia, tienen una tasa "moderadamente alta", entre un 20 y un 34 por ciento.
Honduras, Nicaragua, Panamá, Colombia, Ecuador, Perú y Paraguay entraron en la categoría "moderadamente baja", con niveles de desnutrición de entre el 10 y el 19 por ciento. Y finalmente Brasil, aparece pintada en amarillo con una tasa de entre el 5 y el 9 por ciento.
El PMA detalla que entre las principales causas del hambre están los desastres naturales, los conflictos, la pobreza, la falta de infraestructura agrícola y la sobre-explotación del medioambiente. Recientemente, el número de personas con hambre se incrementó debido a las crisis financieras y económicas.
El programa de Naciones Unidas, además explica que existe otro tipo de hambre, el oculto "producto de la deficiencia de micronutrientes y hace a las personas más susceptibles a las enfermedades infecciosas, perjudica el desarrollo físico y mental, reduce la productividad laboral y aumenta el riesgo de una sufrir una muerte prematura".
Los cinco objetivos estratégicos del PMA son: Salvar vidas y proteger los medios de subsistencia en emergencias. Prevenir el hambre aguda e invertir en medidas de preparación para casos de catástrofe y de mitigación de sus efectos. Reconstruir las comunidades y restablecer los medios de subsistencia después de un conflicto o una catástrofe o en situaciones de transición. Reducir el hambre crónica y la desnutrición. Fortalecer la capacidad de los países para reducir el hambre. Esta iniciativa se financia con aportes voluntarios.
En su sitio online se especifica que con sólo 25 centavos de dólar se garantiza "una taza de alimentos que contengan todos los nutrientes necesarios para un día". El eslogan es "llena la taza", con un dólar aportado, se llenan cuatro.
viernes, 22 de abril de 2011
viernes, 15 de abril de 2011
Doña Área
Como a Juan (@juanmtg1) le ha gustado mucho mi cuento, he cambiado el formato...
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Entrada que participa en el carnaval de matemáticas en su edición 2.3. Y Juan Martínez-Tébar Giménez nos hará un resumen en su blog Los matemáticos no son gente seria.
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Entrada que participa en el carnaval de matemáticas en su edición 2.3. Y Juan Martínez-Tébar Giménez nos hará un resumen en su blog Los matemáticos no son gente seria.
jueves, 14 de abril de 2011
Gandía 3
Miércoles noche:
Después de la despedida de Malala todo vuelve a la normalidad. Continúa la rutina, con mañanas culturales, tardes libres, cena a las 9 y salida a las 11:11. Las ofertas de los bares ya aburren. Esas consumiciones a 5 euros con camiseta de regalo ya no sirven para esconder la baja calidad de los locales, la falta de variedad en las marcas de las bebidas y la mala calidad de la música. Por fin escuchamos un oferta diferente. Se trata de una discoteca que hasta hoy estaba cerrada, pero va a abrir a las 22:30. El nombre es original, PATIPAMI, aunque la oferta no, 5 euros por la entrada que incluye una consumición y una camiseta de regalo. Es más grande, está más limpio... creo que volveremos mañana. Unas fotos:
Jueves. Nos vamos a Valencia. Primero visita panorámica, que quiere decir que vemos cosas escuchando las explicaciones de una guía pero sin bajar del autobús. Luego visita a pie a algunos monumentos valencianos.
miércoles, 13 de abril de 2011
Gandía 2
Miércoles 13 de Abril. Seguimos en Gandía. Todavía no sabemos con seguridad si volveremos con grupo de 20 ó de 21. Las adopciones requieren sus negociaciones y sus trámites. Vamos al inicio de la historia. Todo empezó ayer por la tarde cuando María, Laura y Lara encontraron una caja-sorpresa junto a un contenedor de basura.
Dentro esaba esta simpática perrita, bautizada como MA-LA-LA en honor a sus descubridoras. De momento está con nosotros, como huesped de lujo del hotel. Mientras alguna de las chicas del grupo trata de conseguir el permiso paterno para la adopción, yo intento ponerme en contacto con la Sociedad Protectora de Animales. ¿Dónde y cómo terminará la cosa?
Volviendo a lo que es el Viaje de Estudios, ayer por la noche estuvimos estudiando marketing, observando de cerca y sobre el terreno las tácticas de los establecimientos de ocio locales. Desde rebajas hasta camiseas de regalo.
Hoy hemos ido a Xátiva, donde nos han enseñado el museo y el castillo.
NOTICIAS DE ÚLTIMA HORA: Malala acaba de ser entregada a un voluntario de la Sociedad Protectora de Animales, que ha asegurado que mañana mismo tendrá una nueva familia.
Doña Área
Hoy traigo un nuevo reto para los epsilones de 1º:
Últimamente en la ciudad de Poligonópolis andan todos muy alterados...
El señor Don Cuadrado, un prestigioso y valorado vecino de esta localidad y su mujer la señora Doña Petri, un estupendo triángulo isósceles han anunciado el compromiso y la inminente boda de su hijo Tito.
Tito es un bellísimo triángulo rectángulo que está locamente enamorado de Margarita, un dulce hexágono regular que conoció en su último viaje.
Los hermanos de Don Cuadrado: Catalina, la más presumida y coqueta de la familia es un delicado trapecio. Y Pepe, un joven romboide algo despistado, los dos están como locos preparando el festejo.
Juan, el peque de la casa, un rombo muy revoltoso y algo caprichoso, anda también muy alterado en estos días de ajetreo.
Todos han ido a visitar a Doña Área, el sastre del pueblo, un magnífico triángulo equilátero y experta en el oficio, pues hace los mejores trajes a medida de toda Poligonópolis.
Doña Área tiene una gran cantidad de telas, todas ellas salen de su telar donde tiene una estupenda máquina que le fabrica sus telas, de distintas medidas, aunque todas salen con forma rectangular.
Con Don Cuadrado no ha tenido ningún problema, pues Doña Área no ha tenido que hacer ningún retoque en la tela que ha salido de la fabrica y le sienta como un guante.
A Doña Petri, le ha hecho dos trajes estupendos, uno de ellos sin costuras y el otro con una cremallera que le queda fenomenal. Doña Área solo ha necesitado dos cortes en la tela.
A Tito también le ha hecho dos trajes, pero sin cremalleras y con un solo corte en la tela
Pero para la preciosa novia , Doña Área, se ha esmerado.Ha hecho seis cortes en la tela y después ha hecho seis costuras y ha cosido una cremallera. Ha quedado precioso.Margarita está encantada.
Ha Catalina le ha hecho dos preciosos vestidos sin costuras y con solo un corte en su tela.
Y a su hermano Pepe, Doña Área, le ha hecho un traje con cremallera que le queda fenomenal, es que Pepe es muy elegante y tiene mucho estilo, todo le queda bien.
Con Juan, Doña Área se lució. Le hizo dos trajes, uno sin costuras y otro con cuatro cremalleras, ¡chulísimo!. A Juan le gusta mucho.Doña Área hizo cuatro cortes en su tela.
A mi me gusta ver trabajar a Doña Área, utiliza con maestría la tijera y es una fenómeno con el hilo y la aguja. Yo soy su ayudante y estoy aprendiendo mucho. Para hacer un traje a un romboide y un hexágono, necesito una tela rectangular, pero para el triángulo, el trapecio y el rombo, con una tela rectangular hago dos trajes.
Ahora estoy aprendiendo a tomar bien las medidas a los clientes.
Con Don Cuadrado, Doña Petri y Pepe solo he tenido que medir el ancho y el alto, pero Doña Área me pidió que tuviera más cuidado con la novia. A Margarita tuve que medirla todo su perímetro y después Doña Área me pidió justamente la mitad de esa medida, para la base de su tela rectangular. Para medir su altura, también con mucho cuidado, Margarita se colocó bien derecha y medí todo el alto, pero Doña Área puso la mitad de esa medida en la altura de su tela.
Con Catalina no tuve tanto trabajo, pero si que tuve que hacer dos medidas para el ancho, abajo y arriba. Después Doña Área me pidió que sumara las dos y el resultado lo puso en el ancho de su tela rectangular. La altura la misma que tiene Catalina.
Y con Juan fue muy difícil, porque no para...¡es tremendo! cuando conseguí que estuviera bien quieto, le medí todo lo alto que es, y el ancho en su parte más ancha, porque como es un rombo, tiene una cintura bien grande.
Todos se fueron muy contentos con sus trajes.
Hoy ha llegado el hermano de la novia, Ricardo, un enorme pentágono regular, y Don Cuadrado lo ha mandado venir para hacerse un traje. Doña Área ha tenido que salir y estoy sola en la sastrería con Ricardo.
Tengo un gran problema con él.
¿Sabrías decirme cuál es el problema? ¿Podrías ayudarme a solucionarlo?
Con esta entrada participo en el carnaval de matemáticas en su edición 2.3. El blog anfitrión es en esta ocasión Los matemáticos no son gente seria, donde nuestro compañero y amigo Juan Martínez-Tébar Giménez hace un estupendo trabajo, no dejéis de visitarlo.
Últimamente en la ciudad de Poligonópolis andan todos muy alterados...
El señor Don Cuadrado, un prestigioso y valorado vecino de esta localidad y su mujer la señora Doña Petri, un estupendo triángulo isósceles han anunciado el compromiso y la inminente boda de su hijo Tito.
Tito es un bellísimo triángulo rectángulo que está locamente enamorado de Margarita, un dulce hexágono regular que conoció en su último viaje.
Los hermanos de Don Cuadrado: Catalina, la más presumida y coqueta de la familia es un delicado trapecio. Y Pepe, un joven romboide algo despistado, los dos están como locos preparando el festejo.
Juan, el peque de la casa, un rombo muy revoltoso y algo caprichoso, anda también muy alterado en estos días de ajetreo.
Todos han ido a visitar a Doña Área, el sastre del pueblo, un magnífico triángulo equilátero y experta en el oficio, pues hace los mejores trajes a medida de toda Poligonópolis.
Doña Área tiene una gran cantidad de telas, todas ellas salen de su telar donde tiene una estupenda máquina que le fabrica sus telas, de distintas medidas, aunque todas salen con forma rectangular.
Con Don Cuadrado no ha tenido ningún problema, pues Doña Área no ha tenido que hacer ningún retoque en la tela que ha salido de la fabrica y le sienta como un guante.
A Doña Petri, le ha hecho dos trajes estupendos, uno de ellos sin costuras y el otro con una cremallera que le queda fenomenal. Doña Área solo ha necesitado dos cortes en la tela.
Pero para la preciosa novia , Doña Área, se ha esmerado.Ha hecho seis cortes en la tela y después ha hecho seis costuras y ha cosido una cremallera. Ha quedado precioso.Margarita está encantada.
Ha Catalina le ha hecho dos preciosos vestidos sin costuras y con solo un corte en su tela.
Y a su hermano Pepe, Doña Área, le ha hecho un traje con cremallera que le queda fenomenal, es que Pepe es muy elegante y tiene mucho estilo, todo le queda bien.
Ahora estoy aprendiendo a tomar bien las medidas a los clientes.
Con Don Cuadrado, Doña Petri y Pepe solo he tenido que medir el ancho y el alto, pero Doña Área me pidió que tuviera más cuidado con la novia. A Margarita tuve que medirla todo su perímetro y después Doña Área me pidió justamente la mitad de esa medida, para la base de su tela rectangular. Para medir su altura, también con mucho cuidado, Margarita se colocó bien derecha y medí todo el alto, pero Doña Área puso la mitad de esa medida en la altura de su tela.
Con Catalina no tuve tanto trabajo, pero si que tuve que hacer dos medidas para el ancho, abajo y arriba. Después Doña Área me pidió que sumara las dos y el resultado lo puso en el ancho de su tela rectangular. La altura la misma que tiene Catalina.
Y con Juan fue muy difícil, porque no para...¡es tremendo! cuando conseguí que estuviera bien quieto, le medí todo lo alto que es, y el ancho en su parte más ancha, porque como es un rombo, tiene una cintura bien grande.
Todos se fueron muy contentos con sus trajes.
Hoy ha llegado el hermano de la novia, Ricardo, un enorme pentágono regular, y Don Cuadrado lo ha mandado venir para hacerse un traje. Doña Área ha tenido que salir y estoy sola en la sastrería con Ricardo.
Tengo un gran problema con él.
¿Sabrías decirme cuál es el problema? ¿Podrías ayudarme a solucionarlo?
Con esta entrada participo en el carnaval de matemáticas en su edición 2.3. El blog anfitrión es en esta ocasión Los matemáticos no son gente seria, donde nuestro compañero y amigo Juan Martínez-Tébar Giménez hace un estupendo trabajo, no dejéis de visitarlo.
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