Logaritmo...¡Qué palabreja!

Iba a escribir un comentario en este reto propuesto por Mario, pero creo que este comentario merece una nueva entrada.

Logaritmo es una palabreja que para la mayoría de mis chicos de bachillerato genera rechazo y repulsión, un efecto negativo en su ánimo, vamos!, que no les va…
Sin embargo es una de las grandes herramientas del cálculo matemático, una verdadera maravilla para tratar con números “reales” , unos muy grandes para medir distancias a nivel galáctico, y otros muy pequeñitos a nivel atómico…los cuales utilizan una notación especial llamada “notación científica” basada en las potencias de base 10.

Supongo que si hablo de potencias, hasta los pequeños epsilones de 1º de eso, saben a lo que me refiero. Empecemos, pues, por escribir una potencia:

$$2^{64}$$

Esta cifra, que no nos ha ocupado casi espacio al escribirla así, tiene 20 cifras, lo que ocuparía todo un renglón:

18446744073709551616

Imaginad si lo que intentamos escribir es, por ejemplo

$$2^{967}$$

1247400193459199882285232945648024103792157037772160963439092026523257432418102541115598728432897313180839029277620309527482773742745996037961982373928019637700003545594428547823461075902726866989158347965339952495831756534450543993055534542780027598441950566797347526026474059518965006204928.

Creo que está claro la comodidad de usar la potencia para tratar estos números.
Pues bien, cuando en los cálculos surge la necesidad de escribir un número enorme como potencia y no sabemos cuál es el exponente…¿qué hacemos?....Imaginad que tenéis que escribir el número:
187072209578355573530071658587684226515959365500928

Bueno…Pues después de lo visto sería conveniente escribirlo como potencia, y ya que estamos con el dos, probemos con esta base….¿qué se os ocurre?...¿Dividir entre 2?...¿Cuántas veces?...

Aquí es donde aparece el maravilloso logaritmo en base 2

$$\log_2$$

que colocamos delante de esta monstruosidad de número y obtenemos el deseado exponente:167, es decir:

187072209578355573530071658587684226515959365500928

$$=2^{167}$$

Porque

$$\log_2$$ de 187072209578355573530071658587684226515959365500928 es 167

¿No os parece genial?... Normalmente utilizamos la notación científica y no escribimos estos números con todas sus cifras pero el logaritmo sigue calculando el exponente, aunque el número esté escrito como potencia, así:

$$\log_2(2^{167})=167$$

Bien, toda esta introducción, es para que entendáis la siguiente solución al reto de Marco, utilizando el logaritmo.

Antes de continuar un pequeño detalle, una raíz cuadrada es una potencia de exponente 1/2, y 1/2 a su vez se puede escribir como potencia

$$\frac{1}{2}=2^{-1}$$

La raíz de la raíz de dos es pues

$$\sqrt{\sqrt{2}}=\sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}$$

Y en general si hacemos n veces la raíz de un número a:

$$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{a}}}}=a^{2^{-n}}$$

El truco (en matemáticas siempre hay pequeños trucos) está en que yo puedo escribir la raíz cuadrada las veces que yo quiera, y la raíz no es más que la potencia de exponente 1/2, y si escribo n raíces seguidas de un número lo que obtengo es la potencia de exponente

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdots\frac{1}{2}$$

Que vuelve a su vez a ser una potencia:

$$2^{-n}$$

Y ya tengo lo que quiero….la n en el exponente…. ¿Y qué hacemos para calcular un exponente??....

Exacto! utilizar el logaritmo, puesto que, como hemos visto

$$log_2(2^{-n})= -n $$

Por tanto: Solución al reto de Marco; para escribir un número natural cualquiera ( del 1 al 100 o al que queráis), que llamamos N, por ejemplo, con cuatro cuatros, basta escribir:

$$N=-\log_{\sqrt{4}}\left(\log_{\sqrt{4}}\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\cdots N veces\cdots\sqrt{4-\sqrt{4}}}}}\right)\right)$$

Probadlo con vuestra calculadora y un número cualquiera..ya veréis!